بالتفصيل

أصل لانهائي


معادلة ديوفانتا الأكثر شهرة هي معادلة فيرما س.ن + ذن = ضن. عندما ن = 2 لدينا x² + y² = z² من حيث نحصل على الدعاوى فيثاغورس. ظهر حله خلال العصور القديمة الكلاسيكية في عمل "العناصر" لعالم الرياضيات اليوناني إقليدس. تم إحراز التقدم التالي بعد 1400 عام من قبل Fermat، Leibniz و Euler. منذ القرن السابع عشر ، حاول العديد من أعظم علماء الرياضيات إعادة بناء التظاهرة الرائعة التي زعم فيرمات أنها نجحت في تحقيقها ؛ن + ذن = ضن لا يوجد حل للأعداد الصحيحة والإيجابية عند n> 2. وقال فيرما إنه لا يتناسب مع هامش نسخته من كتاب ديوفانتوس "Arithmetica". يقال إنه في عام 1742 ، طلب أعظم عالم رياضيات في القرن الثامن عشر ، ليونارد يولر ، من صديقه كليرو تفتيش منزل فيرمات بحثًا عن قطعة من الورق مع أي إشارة إلى مظاهرة فيرمات ، ولكن لم يتم العثور على شيء. ومع ذلك ، أعطى أولر أول مظاهرة صحيحة ولكن غير كاملة لحالة الأس ن = 3.

لاحظ أنه إذا لم يكن الأس n> 2 رقمًا أوليًا ، فإن الأس يكون إما قوة لاثنين أو قابل للقسمة على بعض الأعداد الأولية الفردية p. في الحالة الأولى ، n = 4k ويمكن إعادة كتابة المعادلة كـ

ك)4 + (ذك)4 = (ضك)4. ومع ذلك ، أظهر فيرما أن مجموع القوتين الرابعتين لا يمكن أن يؤدي إلى قوة رابعة. في الحالة الثانية n = pk ، وتصبح المعادلة (xك)ص + (ذك)ص = (ضك)ص لذلك ، لإثبات أن المعادلة لا يوجد لديها حل للقوى الصحيحة العددية التعسفية ، يكفي أن نوضح أن المعادلة ليست قابلة للذوبان عندما n = p ، حيث p هي عدد أولي غريب. يمكننا تبسيط المشكلة إلى أبعد من ذلك إذا لاحظنا أنه إذا كانت x ، y ، z تشكل حلاً لمعادلة Fermat وأن أي منهما قابل للقسمة على نفس العدد الصحيح d ، ثم d يقسم الثالث أيضاً (على سبيل المثال ، إذا قسّم xص و ضصثم هناك أعداد صحيحة ال و ب مثل هذا سص = ال و ضص = ديسيبل. قريبا ذص = ضص - سص = ديسيبل -ال = د(ال - ب) ، وهكذا د هو مقسوم على ذص. لذلك ، يكفي لتحديد الحلول القريبة نسبيًا اثنين أو اثنين. يطلق عليهم "البدائية". إذا كانت p عبارة عن برايم غريب ، عندئذ (-z)ص = -zص ويمكننا أن نذكر نظرية فيرما على النحو التالي: "إذا كان p ابن عم غريب ، ثم xص + ذص + ضص = 0 لا يوجد لديه حلول عدد صحيح x و y و z التي تكون قريبة نسبيًا اثنين اثنين وتلك xyz ≠ 0.

في الحالة n = 4 ، يتم تعيين العبارة إلى Fermat. يستند هذا العرض التوضيحي إلى شكل من أشكال الاستقراء الذي ابتدعه وأطلق عليه اسم "طريقة النزول اللانهائي". تم تطبيق هذه الطريقة بنجاح على العديد من المشكلات الأخرى وتستخدم العرض التوضيحي غير المباشر المعروف أيضًا باسم العرض التوضيحي "Reductio ad Absurdum". وهكذا ينبع التناقض من نفي الأطروحة ونخلص إلى أن الأطروحة الأصلية صحيحة. يمكن وصف طريقة التنازلي بإيجاز على النحو التالي: نحن نفترض أن هناك حلًا صحيحًا وإيجابيًا لمشكلة في متناول اليد ، ومنه نظهر أنه يمكننا الحصول على حل صحيح وإيجابي آخر أصغر من الحل السابق والاستمرار بهذه الطريقة. هذه الحجة متناقضة لأننا إذا بدأنا من قيمة موجبة وقمنا بإنشاء تسلسل تنازلي للقيم الموجبة من هذه القيمة المعطاة ، بعد عدد محدد من الخطوات ، نحصل على أعداد صحيحة صفرية أو سالبة. لذا ، توصلنا إلى تناقض ينبع من الافتراض بأن المشكلة لها حل كامل وإيجابي ، وبالتالي ، من خلال الحد إلى العبث ، يترتب على ذلك أن المشكلة لا يوجد لها حل. في العمود التالي ، سنوضح الحالة n = 4 من نظرية Fermat باستخدام الأسلوب التنازلي.

العودة إلى الأعمدة

<


فيديو: ديمقريطس . الوجود هو ذرات لانهائية تتساقط في فراغ لانهائي (ديسمبر 2021).