مقالات

10.1: نظرة عامة - الرياضيات


المصفوفة الأسية هي وسيلة قوية لتمثيل حل المعادلات التفاضلية الخطية والثابتة. يمكن كتابة مشكلة القيمة الأولية لمثل هذا النظام

[x ′ (t) = Ax (t) nonumber ]

[x (0) = x_ {0} nonumber ]

حيث (A ) هي مصفوفة المعاملات n-by-n. بالقياس على حالة 1 × 1 التي قد نتوقعها

[x (t) = e ^ {At} u nonumber ]

ليمسك. يتم منح توقعاتنا إذا حددنا (e ^ {At} ) بشكل صحيح. هل ترى لماذا لا يكفي مجرد الأس كل عنصر من (At )؟

هناك ما لا يقل عن 4 طرق متميزة (ولكن بالطبع مكافئة) لتعريف (e ^ {At} ) بشكل صحيح. الأول والثاني متماثلان طبيعيان للحالة المتغيرة الفردية بينما الأخيران يستخدمان آلات جبر المصفوفة الأثقل.

  1. المصفوفة الأسية كحد من السلطات
  2. المصفوفة الأسية كمجموع القوى
  3. المصفوفة الأسية عبر تحويل لابلاس
  4. المصفوفة الأسية عبر القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

يرجى زيارة كل من هذه الوحدات لمعرفة التعريف وعدد من الأمثلة.

لتطبيق ملموس لهذه الأساليب على نظام ديناميكي حقيقي ، يرجى زيارة وحدة Mass-Spring-Damper.

بغض النظر عن النهج ، قد يظهر أن المصفوفة الأسية تمتثل للخصائص الثلاثة الجميلة

  1. ( frac {d} {dt} (e ^ {At}) = Ae ^ {At} = e ^ {At} A )
  2. (e ^ {A (t_ {1} + t_ {2})} = e ^ {At_ {1}} e ^ {At_ {2}} )
  3. (e ^ {At} ) غير عابر و ((e ^ {At}) ^ {- 1} = e ^ {- (At)} )

دعونا نؤكد كل من هذه في مجموعة الأمثلة المستخدمة في الوحدات الفرعية.

مثال ( PageIndex {1} )

إذا

[A = begin {pmatrix} {1} & {0} {0} & {2} end {pmatrix} nonumber ]

ومن بعد

[e ^ {At} = begin {pmatrix} {e ^ t} & {0} {0} & {e ^ {2t}} end {pmatrix} nonumber ]

  1. ( frac {d} {dt} (e ^ {At}) = begin {pmatrix} {e ^ t} & {0} {0} & {e ^ {2t}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {1} & {0} {0} & {2} end {pmatrix} begin {pmatrix} {e ^ t} & {0} {0} & {e ^ {2t}} end {pmatrix} )
  2. ( begin {pmatrix} {e ^ {t_ {1} + t_ {2}}} & {0} {0} & {e ^ {2t_ {1} + 2t_ {2}}} end { pmatrix} = start {pmatrix} {e ^ {t_ {1}} e ^ {t_ {2}}} & {0} {0} & {e ^ {2t_ {1}} e ^ {2t_ { 2}}} end {pmatrix} = start {pmatrix} {e ^ {t_ {1}}} & {0} {0} & {e ^ {2t_ {1}}} end {pmatrix} start {pmatrix} {e ^ {t_ {2}}} & {0} {0} & {e ^ {2t_ {2}}} end {pmatrix} )
  3. ((e ^ {At}) ^ {- 1} = begin {pmatrix} {e ^ {- t}} & {0} {0} & {e ^ {- (2t)}} end {pmatrix} = e ^ {- (At)} )

مثال ( PageIndex {2} )

إذا

[A = begin {pmatrix} {0} & {1} {-1} & {0} end {pmatrix} nonumber ]

ومن بعد

[e ^ {At} = begin {pmatrix} { cos (t)} & { sin (t)} {- sin (t)} & { cos (t)} end {pmatrix } لا يوجد رقم]

  1. ( frac {d} {dt} (e ^ {At}) = begin {pmatrix} {- sin (t)} & { cos (t)} {- cos (t)} & {- sin (t)} end {pmatrix} ) و (Ae ^ {At} = begin {pmatrix} {- sin (t)} & { cos (t)} {- cos (t)} & {- sin (t)} end {pmatrix} )
  2. سوف تتعرف على هذه العبارة باعتبارها هوية مثلثية أساسية ( begin {pmatrix} { cos (t_ {1} + t_ {2})} & { sin (t_ {1} + t_ {2})} {- sin (t_ {1} + t_ {2})} & { cos (t_ {1} + t_ {2})} end {pmatrix} = begin {pmatrix} { cos (t_ {1 })} & { sin (t_ {1})} {- sin (t_ {1})} & { cos (t_ {1})} end {pmatrix} begin {pmatrix} { cos (t_ {2})} & { sin (t_ {2})} {- sin (t_ {2})} & { cos (t_ {2})} end {pmatrix} )
  3. ((e ^ {At}) ^ {- 1} = begin {pmatrix} { cos (t)} & {- sin (t)} { sin (t)} & { cos ( t)} end {pmatrix} = begin {pmatrix} { cos (-t)} & {- sin (-t)} { sin (-t)} & { cos (-t) } end {pmatrix} = e ^ {- (At)} )

مثال ( PageIndex {3} )

إذا

[A = begin {pmatrix} {0} & {1} {0} & {0} end {pmatrix} nonumber ]

ومن بعد

[e ^ {At} = begin {pmatrix} {1} & {t} {0} & {1} end {pmatrix} nonumber ]

  1. ( frac {d} {dt} (e ^ {At}) = begin {pmatrix} {0} & {1} {0} & {0} end {pmatrix} = Ae ^ {At} )
  2. ( start {pmatrix} {1} & {t_ {1} + t_ {2}} {0} & {1} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {1} & {t_ {1 }} {0} & {1} end {pmatrix} begin {pmatrix} {1} & {t_ {2}} {0} & {1} end {pmatrix} )
  3. ( begin {pmatrix} {1} & {t} {0} & {1} end {pmatrix} ^ {- 1} = begin {pmatrix} {1} & {- t} { 0} & {1} end {pmatrix} = e ^ {- At} )

لماذا يعمل الاهتمام الذاتي متعدد الرؤوس: الرياضيات ، والحدس ورؤى 10 + 1 الخفية

هذه المقالة مخصصة للأشخاص الفضوليين الذين يريدون أن يفهموا حقًا سبب وكيفية عمل الانتباه الذاتي. قبل التنفيذ ، أو فقط شرح ورقة خيالية جديدة باستخدام المحولات ، اعتقدت أنه سيكون من المثير للاهتمام تقديم وجهات نظر مختلفة حول آلية الانتباه.

بعد دراسة هذا الموضوع لمدة شهرين ، وجدت العديد من البديهيات الخفية التي يمكن أن تعطي معنى لـ على أساس المحتوى آلية الانتباه.

لماذا أستغرق الوقت الكافي لتحليل الانتباه الذاتي بشكل أكبر؟

أولاً لأنني لم أستطع العثور على إجابات مباشرة لسؤالي الواضح لماذا يعمل الاهتمام الذاتي متعدد الرؤوس. ثانيًا ، نظرًا لأن العديد من كبار الباحثين مثل hadamaru من Google brain يعتبرونها أهم صيغة بعد 2018:

من المثير للاهتمام أن هناك نوعين من الحسابات المتوازية مخبأة داخل الانتباه الذاتي:

عن طريق تجميع متجهات التضمين في مصفوفة الاستعلام

من خلال تقديم الانتباه متعدد الرؤوس.

سنقوم بتحليل كليهما. والأهم من ذلك ، سأحاول تقديم وجهات نظر مختلفة لماذا متعدد الرؤوس يعمل الاهتمام الذاتي!

يرجى زيارة مقالاتي التمهيدية حول الاهتمام والمحولات للحصول على نظرة عامة رفيعة المستوى أو lib مفتوح المصدر الخاص بنا للتطبيقات.

هل تريد بناء أساسيات PyTorch الخاصة بك؟ تعلم من أفضلها حول كيفية بناء نماذج التعلم العميق باستخدام PyTorch. استخدم الكود 35 للحصول على خصم حصري 35٪ من مدونة AI المفضلة لديك!


ستقدم كل وحدة مكونين للمساعدة في جعل وحدات الرياضيات هادفة وجذابة لمجموعة كاملة أو مجموعة صغيرة أو دروس فردية. يمنح هذا المنهج المعلم المرونة والحرية في إعادة ترتيب الوحدات لتناسب احتياجات طلابه. نظرًا لوجود العديد من صفحات ومراكز التدريب في كل وحدة ، يمكن للمدرس استخدام العديد من الصفحات والمراكز كمراجعة لولبية مع تقدم العام. ستكون الأنشطة الأكثر تحديًا هي الأنسب لهذا النوع من النهج.

يشار بوضوح إلى معايير مستوى الصف لكل صفحة تدريب ومركز على ورقة معايير رياضيات رياض الأطفال. لذلك ، لا يتعين عليك تخمين المعيار الذي يتم تغطيته. إنه لمن دواعي الارتياح أن تعرف ذلك بالتأكيد الكل يتم تغطية المعايير. يسهل هذا النوع من الموارد على المدرس أو الطالب المنزلي استكمال منهج الرياضيات الحالي أو تنفيذ هذه الوحدات كمنهج جديد.

أدناه ، يمكنك أن ترى كيف تتوافق كل صفحة مع معايير مستوى الصف لرياض الأطفال. بمجرد قيامك بتغطية الصفحات المحددة لمعيار مع صفحات ممارسة NO PREP ، يمكنك الآن الرجوع إلى صفحة المعايير الخاصة بالمراكز. على عكس خطة الدرس المكتوبة حرفًا بكلمة ، فإن منهج الرياضيات هذا يسمح بالمرونة ، مما يمنح المعلم التحكم في النطاق والتسلسل.


مراجع

Bardelle، C.، & amp di Martino، P. (2012). التعلم الإلكتروني في الانتقال من المرحلة الثانوية إلى المرحلة الجامعية في الرياضيات: لأي غرض؟ ZDM— المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 44(6) ، هذا العدد.

بوربا ، إم سي (2005). البشر مع وسائل الإعلام: تحويل الاتصال في الفصل الدراسي. في A. Chronaki & amp I.M. كريستيانسن (محرران) ، وجهات نظر صعبة على التواصل في الفصول الدراسية الرياضيات. الولايات المتحدة الأمريكية: Information Age Publishing Inc.

بوربا ، إم سي (2009). السيناريوهات المحتملة لاستخدام الإنترنت في فصل الرياضيات. ZDM - المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 41, 453–465.

بوربا ، إم سي (2012). البشر مع وسائل الإعلام والتعليم المستمر لمعلمي الرياضيات في البيئات عبر الإنترنت. ZDM— المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 44(6) ، هذا العدد.

بوربا ، إم سي ، وأمب جادانيديس ، جي (2008). مجتمعات وشبكات افتراضية لمعلمي الرياضيات الممارسين - دور التكنولوجيا في التعاون. في K. Krainer & amp T. Wood (محرران) ، المشاركون في إعداد معلم الرياضيات (ص 181 - 206). روتردام: سينس.

Borba، M.C، Clarkson، P.، & amp Gadanidis، G. (in press). التعلم باستخدام الإنترنت. في M.A (كين) Clements et al. (محرران) ، الكتيب الدولي الثالث لتعليم الرياضيات. كتيبات Springer الدولية للتعليم (المجلد 27). نيويورك: سبرينغر.

Borba، M.C، Malheiros، A.P.S، & amp Zulatto، R.B A. (2010). التعليم عن بعد عبر الإنترنت. روتردام: سينس للنشر.

بوربا ، إم سي ، وأمبير فياريال ، إم إي (2005). البشر مع وسائل الإعلام وإعادة تنظيم التفكير الرياضي: تقنيات المعلومات والاتصالات ، والنمذجة ، والتصور ، والتجريب. نيويورك: Springer Science.

كلارك ، د. ، سامبسون ، ف ، وينبرجر ، أ ، & أمبير إركينز ، ج. (2007). الأطر التحليلية لتقييم الجدل الحواري في بيئات التعلم عبر الإنترنت. مراجعة علم النفس التربوي ، 19, 343–374.

كلاي ، إي ، سيلفرمان ، جيه ، وأمبير فيشر ، دي جي (2012). فهم التعاون غير المتزامن عبر الإنترنت في تعليم معلمي الرياضيات. ZDM— المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 44(6) ، هذا العدد.

إنجلبريشت ، ج. ، وأمبير هاردينج ، أ. (2005). تدريس الرياضيات الجامعية على الإنترنت. دراسات تربوية في الرياضيات 58(2), 235–252.

فرنانديز ، سي ، ليناريس ، إس ، آند فالس ، ج. (2012). تعلم ملاحظة تفكير الطلاب الرياضي من خلال المناقشات عبر الإنترنت. ZDM— المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 44(6) ، هذا العدد.

فرنانديز ، سي ، ليناريس ، إس ، آند فالس ، ج. (2013). ملاحظة معلمي المدارس الابتدائية لتفكير الطلاب الرياضي في حل المشكلات. المتحمسون للرياضيات ، 10(1 & amp2) ، 37-63. (في الصحافة)

جادانيديس ، جي ، وأمبير جيجر ، ف. (2010). منظور اجتماعي للتعلم الرياضي المعزز بالتكنولوجيا: من التعاون إلى الأداء. ZDM - المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 42(1), 91–104.

Goos، M.، & amp Bennison، A. (2008). تطوير هوية مجتمعية كمعلمين مبتدئين للرياضيات: ظهور مجتمع ممارسة عبر الإنترنت. مجلة تعليم معلم الرياضيات ، 11(1), 41–60.

Goos، M.، & amp Geiger، V. (2012). ربط المنظورات الاجتماعية حول تعليم معلمي الرياضيات في بيئات الإنترنت. ZDM— المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 44(6) ، هذا العدد.

جراسياس ، ت.أ.س (2003). A Natrureza da Reorganização do Pensamento em um Curso a Distância sobre "Tendências em Educação Matemática" [طبيعة إعادة تنظيم التفكير في مقرر عن بعد حول "الاتجاهات في تعليم الرياضيات"]. أطروحة دكتوراه ، جامعة ولاية ساو باولو في ريو كلارو ، UNESP ، البرازيل.

Gueudet ، G. ، Sacristán ، A. I. ، Soury-Lavergne ، S. ، & amp Trouche ، L. (2012). مسارات عبر الإنترنت في تدريب معلمي الرياضيات: موارد جديدة ومهارات جديدة لمعلمي المعلمين. ZDM— المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 44(6) ، هذا العدد.

هويوس ، ف. (2012). التعليم عبر الإنترنت لمعلمي الثانوية أثناء الخدمة وإدماج تكنولوجيا الرياضيات في الفصول الدراسية. ZDM— المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 44(6) ، هذا العدد.

Kynigos، C.، & amp Kalogeria، E. (2012). عبور الحدود من خلال تعليم معلم الرياضيات عبر الإنترنت أثناء الخدمة: حالة السيناريوهات والعوالم الصغيرة نصف المخبوزة. ZDM— المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 44(6) ، هذا العدد.

Li ، Y. ، & amp Qi ، Ch. (2011). التعاون في الدراسة عبر الإنترنت لتحسين خبرة المعلمين في التصميم التعليمي للرياضيات. ZDM - المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 43(6–7), 833–845.

Llinares ، S. ، & amp Olivero ، F. (2008). المجتمعات الافتراضية لمعلمي الرياضيات المحتملين: التقنيات والتفاعلات والأشكال الجديدة للخطاب. في K. Krainer & amp T. Wood (محرران) ، المشاركون في إعداد معلم الرياضيات (ص 155 - 180). روتردام: سينس.

Llinares، S.، & amp Valls، J. (2009). بناء معرفة معلمي المرحلة الابتدائية قبل الخدمة بتدريس الرياضيات: التفاعل ودراسات الحالة عبر الفيديو. العلوم التعليمية 37, 247–271.

Maltempi، M.V، & amp Malheiros، A. P. S. (2010). تعليم الرياضيات عن بعد عبر الإنترنت في البرازيل: البحث والممارسة والسياسة. ZDM - المجلة الدولية لتعليم الرياضيات ، 42(3–4), 291–303.

Penalva، M.C، Rey، C.، & amp Llinares، S. (2011). Identidad y aprendizaje de estudiantes de psicopedagogía. Análisis en un Contexto b-Learning en didáctica de la matemática [هوية وتعلم الطلاب في علم النفس. التحليل في تعليم الرياضيات ب ـ بيئة التعلم]. Revista Española de Pedagogía ، 248 (انيرو- ابريل) ، 101-118.

Roig، A. I.، Llinares، S.، & amp Penalva، M.C (2011). Estructuras plansativas de estudiantes para profesores de matemáticas en un entorno en línea [الهياكل الجدلية لمعلمي الرياضيات قبل الخدمة في بيئة التعلم عبر الإنترنت]. Educación Matemática ، 23(3), 39–65.

روزا ، م ، وأمبير ليرمان ، س. (2011). البحث في تعليم الرياضيات عبر الإنترنت: فتح مساحة لهويات المتعلم الافتراضية. دراسات تربوية في الرياضيات 78(1), 69–90.

سانتوس ، س. (2006). A Produção Matemática em uma ambiente virtual de aprendizagem: O caso da geometria euclidiana especial [الإنتاج الرياضي في بيئة افتراضية للتعلم: حالة الهندسة الإقليدية المكانية]. أطروحة ماجستير ، جامعة ولاية ساو باولو ، ريو كلارو ، SP ، البرازيل.

Schellens ، T. ، & amp Valcke ، M. (2004). تعزيز بناء المعرفة لدى طلاب الجامعة من خلال مجموعات المناقشة غير المتزامنة. أجهزة الكمبيوتر والتعليم أمبير ، 46, 349–370.

ستال ، ج. (2009). دراسة فرق الرياضيات الافتراضية. نيويورك ، نيويورك: Springer Press.

تولمين ، إس إي (2003). استخدامات الحجة. لندن: مطبعة جامعة كامبريدج.

فيرمان ، إيه إل ، أندريسن ، جي إي بي ، وأمب كانسلار ، جي (2000). تعلم المناقشة الإلكترونية المتزامنة. أجهزة الكمبيوتر والتعليم أمبير ، 34, 269–290.

فينجر ، إي (1998). مجتمعات التدرب. التعلم والمعنى والهوية. نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج.


محتويات

يظهر إجراء حل المعادلات الخطية المتزامنة التي تسمى الآن الحذف الغاوسي في النص الرياضي الصيني القديم الفصل الثامن: المصفوفات المستطيلة من تسعة فصول في الفن الرياضي. يتم توضيح استخدامه في ثمانية عشر مشكلة ، مع معادلات من اثنين إلى خمسة. [4]

نشأت أنظمة المعادلات الخطية في أوروبا مع تقديم الإحداثيات في الهندسة في عام 1637 بواسطة رينيه ديكارت. في الواقع ، في هذه الهندسة الجديدة ، التي تسمى الآن الهندسة الديكارتية ، يتم تمثيل الخطوط والمستويات بالمعادلات الخطية ، ويصل حساب تقاطعاتها إلى حل أنظمة المعادلات الخطية.

استخدمت الطرق المنهجية الأولى لحل الأنظمة الخطية المحددات ، والتي درسها لايبنيز لأول مرة في عام 1693. في عام 1750 ، استخدمها غابرييل كرامر لإعطاء حلول صريحة للأنظمة الخطية ، والتي تسمى الآن قاعدة كرامر. في وقت لاحق ، وصف Gauss طريقة الإزالة ، والتي تم إدراجها في البداية على أنها تقدم في الجيوديسيا. [5]

في عام 1844 نشر هيرمان جراسمان "نظرية الامتداد" التي تضمنت موضوعات تأسيسية جديدة لما يسمى اليوم بالجبر الخطي. في عام 1848 ، قدم جيمس جوزيف سيلفستر المصطلح مصفوفة، وهي كلمة لاتينية لـ رحم.

نما الجبر الخطي مع الأفكار التي لوحظت في المستوى المعقد. على سبيل المثال ، رقمان ث و ض في C > لديك فرق ثض، ومقاطع الخط w z ¯ >> و 0 (w - z) ¯ >> لها نفس الطول والاتجاه. الأجزاء متساوية. النظام رباعي الأبعاد H > من المربعات بدأ في عام 1843. المصطلح المتجه تم تقديمه كـ الخامس = x أنا + ذ ي + ض ك تمثل نقطة في الفضاء. الفرق الرباعي صف ينتج أيضًا مقطعًا متساويًا إلى p q ¯. >.> استخدمت أنظمة عدد hypercomplex الأخرى أيضًا فكرة الفضاء الخطي مع أساس.

قدم آرثر كايلي ضرب المصفوفة والمصفوفة العكسية في عام 1856 ، مما جعل المجموعة الخطية العامة ممكنة. أصبحت آلية تمثيل المجموعة متاحة لوصف الأرقام المعقدة والمُعقدة. بشكل حاسم ، استخدم كايلي حرفًا واحدًا للإشارة إلى مصفوفة ، وبالتالي تعامل مع المصفوفة ككائن إجمالي. كما أدرك العلاقة بين المصفوفات والمحددات ، وكتب "سيكون هناك الكثير مما يمكن قوله عن نظرية المصفوفات التي يبدو لي أنها تسبق نظرية المحددات". [5]

نشر بنيامين بيرس كتابه الجبر الخطي الترابطي (1872) ، وقام ابنه تشارلز ساندرز بيرس بتمديد العمل لاحقًا. [6]

تطلب التلغراف نظامًا توضيحيًا ، ونشر عام 1873 لكتاب أطروحة حول الكهرباء والمغناطيسية أسس نظرية ميدانية للقوى وتطلبت هندسة تفاضلية للتعبير. الجبر الخطي هو هندسة تفاضلية مسطحة ويعمل في المساحات المماسية للمشعبات. يتم التعبير عن التناظرات الكهرومغناطيسية للزمكان من خلال تحولات لورنتز ، ومعظم تاريخ الجبر الخطي هو تاريخ تحولات لورنتز.

تم تقديم أول تعريف حديث وأكثر دقة للفضاء المتجه بواسطة Peano في عام 1888 [5] بحلول عام 1900 ، ظهرت نظرية للتحولات الخطية للمساحات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة. اتخذ الجبر الخطي شكله الحديث في النصف الأول من القرن العشرين ، عندما تم تعميم العديد من الأفكار والأساليب في القرون السابقة على أنها جبر مجرد. أدى تطوير أجهزة الكمبيوتر إلى زيادة البحث في الخوارزميات الفعالة للتخلص من Gaussian وتحلل المصفوفة ، وأصبح الجبر الخطي أداة أساسية للنمذجة والمحاكاة. [5]

حتى القرن التاسع عشر ، تم إدخال الجبر الخطي من خلال أنظمة المعادلات والمصفوفات الخطية. في الرياضيات الحديثة ، من خلال العرض التقديمي مساحات ناقلات يُفضل عمومًا ، لأنه أكثر تركيبية ، وأكثر عمومية (لا يقتصر على الحالة ذات الأبعاد المحدودة) ، وأبسط من الناحية المفاهيمية ، على الرغم من كونها أكثر تجريدًا.

مساحة متجه فوق حقل F (غالبًا ما يكون حقل الأعداد الحقيقية) عبارة عن مجموعة الخامس مجهزة بعمليتين ثنائيتين تحقق البديهيات التالية. عناصر الخامس وتسمى ثلاثة أبعاد، وعناصر F وتسمى عددي. العملية الأولى ، إضافة ناقلات، يأخذ أي متجهين الخامس و ث ويخرج متجه ثالث الخامس + ث . العملية الثانية ، الضرب القياسي، يأخذ أي عدد أ وأي ناقلات الخامس ويخرج متجهًا جديدًا أالخامس . البديهيات التي يجب أن يفي بها الجمع والضرب القياسي هي التالية. (في القائمة أدناه ، ش, الخامس و ث هي عناصر تعسفية من الخامس ، و أ و ب هي مقاييس عشوائية في هذا المجال F .) [7]

اكسيوم مغزى
اتحاد الجمع ش + (الخامس + ث) = (ش + الخامس) + ث
تبادلية الجمع ش + الخامس = الخامس + ش
عنصر الهوية إضافة يوجد عنصر 0 في الخامس ، ودعا ناقل صفر (أو ببساطة صفر)، مثل ذلك الخامس + 0 = الخامس للجميع الخامس في الخامس .
العناصر المعكوسة للجمع لكل الخامس في الخامس ، يوجد عنصر -الخامس في الخامس ، ودعا المعكوس الجمعي من الخامس ، مثل ذلك الخامس + (−الخامس) = 0
توزيعية الضرب العددي بالنسبة إلى إضافة المتجهات أ(ش + الخامس) = أش + أالخامس
توزيعية الضرب العددي فيما يتعلق بالجمع الميداني (أ + ب)الخامس = أالخامس + بالخامس
توافق الضرب العددي مع الضرب الميداني أ(بالخامس) = (أب)الخامس [أ]
عنصر تعريف الضرب العددي 1الخامس = الخامس ، حيث يشير 1 إلى الهوية المضاعفة لـ F.

تعني البديهيات الأربع الأولى ذلك الخامس هي مجموعة أبيلية تحت الإضافة.

قد يكون لعنصر فضاء متجه معين طبيعة مختلفة على سبيل المثال ، يمكن أن يكون تسلسلًا أو دالة أو متعدد الحدود أو مصفوفة. يهتم الجبر الخطي بخصائص هذه الكائنات المشتركة بين جميع الفراغات المتجهة.

تحرير الخرائط الخطية

الخرائط الخطية هي تعيينات بين مسافات متجهة تحافظ على بنية فضاء متجه. نظرا لمساحتين متجهتين الخامس و دبليو فوق الحقل F ، الخريطة الخطية (تسمى أيضًا ، في بعض السياقات ، التحويل الخطي أو التعيين الخطي) هي خريطة

يتوافق مع الجمع والضرب القياسي ، أي

لأي ناقلات ش,الخامس في الخامس وعددي أ في F.

هذا يعني أن لأي نواقل ش, الخامس في الخامس والقياسات أ, ب في F ، واحد لديه

متي الخامس = دبليو هي نفس مساحة المتجه ، والخريطة الخطية T: V → V تُعرف أيضًا باسم a عامل خطي على V.

الخريطة الخطية الحيوية بين مسافتين متجهتين (أي أن كل متجه من الفضاء الثاني مرتبط بواحد بالضبط في الأول) هو تماثل. نظرًا لأن التشابه يحافظ على البنية الخطية ، فإن مساحتين متجهتين متماثلتين "بشكل أساسي هي نفسها" من وجهة نظر الجبر الخطي ، بمعنى أنه لا يمكن تمييزهما باستخدام خصائص الفضاء المتجه. السؤال الأساسي في الجبر الخطي هو اختبار ما إذا كانت الخريطة الخطية هي تماثل أم لا ، وإذا لم تكن تماثلًا ، فقم بإيجاد مداها (أو صورتها) ومجموعة العناصر التي تم تعيينها إلى متجه الصفر ، يسمى النواة من الخريطة. يمكن حل كل هذه الأسئلة باستخدام طريقة الحذف الغاوسي أو بعض أشكال هذه الخوارزمية.

تحرير المساحات الفرعية والامتداد والأساس

تعتبر دراسة تلك المجموعات الفرعية من المساحات المتجهة التي هي في حد ذاتها مسافات متجهة تحت العمليات المستحثة أمرًا أساسيًا ، على غرار العديد من الهياكل الرياضية. تسمى هذه المجموعات الفرعية بالمساحات الجزئية الخطية. بتعبير أدق ، الفضاء الجزئي الخطي لمساحة متجه V فوق حقل F هو مجموعة فرعية W من V بحيث ش + الخامس و أش في W لكل ش , الخامس في W ، وكل a في F. (هذه الشروط كافية للإشارة إلى أن W هو فضاء متجه.)

على سبيل المثال ، بالنظر إلى الخريطة الخطية T: V → W < displaystyle T: V to W> ، فإن الصورة تي(الخامس) من V والصورة المعكوسة تي −1 (0) من 0 (تسمى kernel أو null space) ، هي مساحات فرعية خطية من W و V ، على التوالي.

طريقة أخرى مهمة لتشكيل فضاء جزئي هي النظر في التوليفات الخطية لمجموعة S من المتجهات: مجموعة جميع المجاميع

أين الخامس1, الخامس2, . الخامسك في S و أ1, أ2, . أك هي في شكل F فضاء جزئي خطي يسمى امتداد S. إن امتداد S هو أيضًا تقاطع جميع المسافات الفرعية الخطية التي تحتوي على S. وبعبارة أخرى ، هو (الأصغر بالنسبة لعلاقة التضمين) الفضاء الجزئي الخطي الذي يحتوي على S.

تكون مجموعة النواقل مستقلة خطيًا إذا لم يكن أي منها في مدى الآخرين. بالتساوي ، تكون مجموعة S من المتجهات مستقلة خطيًا إذا كانت الطريقة الوحيدة للتعبير عن المتجه الصفري كمجموعة خطية من عناصر S هي أخذ صفر لكل معامل a i. .>

تسمى مجموعة المتجهات التي تمتد عبر مساحة متجه مجموعة الامتداد أو مجموعة التوليد. إذا كانت مجموعة الامتداد S هي تعتمد خطيا (هذا ليس مستقلاً خطيًا) ، ثم بعض العناصر ث من S في امتداد العناصر الأخرى لـ S ، وسيظل الامتداد كما هو إذا تم إزالة أحدهما ث من S. قد يستمر المرء في إزالة عناصر S حتى يحصل على مجموعة ممتدة مستقلة خطيًا. تسمى هذه المجموعة المستقلة خطيًا التي تمتد على مساحة متجه V بأساس الخامس . تكمن أهمية القواعد في حقيقة أن هناك مجموعات توليد قليلة ومجموعات مستقلة قصوى معًا. بتعبير أدق ، إذا كانت S مجموعة مستقلة خطيًا ، و T هي مجموعة ممتدة مثل S ⊆ T ، < displaystyle S subseteq T ،> ثم هناك أساس B مثل S ⊆ B ⊆ T.

أي قاعدتين لمساحة متجه الخامس لها نفس العلاقة الأساسية ، والتي تسمى بعد الخامس هذه هي نظرية البعد للمساحات المتجهة. علاوة على ذلك ، فإن مسافتين متجهتين على نفس الحقل F يكونان متشابهين إذا وفقط إذا كان لهما نفس البعد. [8]

إذا كان أي أساس الخامس (وبالتالي كل أساس) لديه عدد محدود من العناصر ، الخامس هو الفضاء ناقلات محدودة الأبعاد. إذا يو هو فضاء فرعي من الخامس ، ثم خافت يو ≤ قاتمة الخامس . في حالة أين الخامس متناهية الأبعاد ، تعني المساواة في الأبعاد يو = الخامس .

إذا يو1 و يو2 هي مساحات فرعية من الخامس، ومن بعد

تسمح المصفوفات بمعالجة صريحة للمساحات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة والخرائط الخطية. وبالتالي فإن نظريتهم هي جزء أساسي من الجبر الخطي.

لنفترض أن V مساحة متجهة ذات أبعاد محدودة فوق حقل F ، و (الخامس1, الخامس2, . الخامسم) يكون أساسًا لـ الخامس (وبالتالي م هو البعد الخامس ). من خلال تعريف الأساس ، الخريطة

يسمح هذا التشابه بتمثيل متجه من خلال صورته العكسية تحت هذا التماثل ، أي بواسطة متجه الإحداثيات (أ 1 ، ... ، أ م) ، ldots ، a_)> أو مصفوفة العمود

ل ي = 1, . ن ، ثم يتم تمثيل f بالمصفوفة

مع m من الصفوف و n من الأعمدة.

يتم تعريف ضرب المصفوفة بطريقة تجعل حاصل ضرب المصفوفتين هو مصفوفة تكوين الخرائط الخطية المقابلة ، وحاصل ضرب المصفوفة ومصفوفة العمود هو مصفوفة العمود التي تمثل نتيجة تطبيق الخريطة الخطية الممثلة على المتجه الممثل. ويترتب على ذلك أن نظرية الفراغات المتجهية ذات الأبعاد المحدودة ونظرية المصفوفات لغتان مختلفتان للتعبير عن نفس المفاهيم بالضبط.

تسمى المصفوفتان اللتان تشفران نفس التحويل الخطي في قواعد مختلفة متشابهة. يمكن إثبات أن مصفوفتين متشابهتين إذا وفقط إذا استطاعت إحداهما تحويل واحدة في الأخرى عن طريق عمليات الصف والعمود الأولية. بالنسبة لمصفوفة تمثل خريطة خطية من W إلى V ، تتوافق عمليات الصف مع تغيير القواعد في V وتتوافق عمليات العمود مع تغيير القواعد في W. كل مصفوفة تشبه مصفوفة الهوية من المحتمل أن يحدها صفوف صفرية وأعمدة صفرية. فيما يتعلق بمساحات المتجهات ، هذا يعني أنه ، بالنسبة لأي خريطة خطية من W إلى V ، هناك قواعد بحيث يتم تعيين جزء من أساس W بشكل حيوي على جزء من أساس V ، وأن العناصر الأساسية المتبقية لـ يتم تعيين W ، إن وجد ، على الصفر. الحذف الغاوسي هو الخوارزمية الأساسية لإيجاد هذه العمليات الأولية ، وإثبات هذه النتائج.

تشكل أنظمة المعادلات الخطية جزءًا أساسيًا من الجبر الخطي. تاريخيًا ، تم تطوير نظرية الجبر الخطي والمصفوفة لحل مثل هذه الأنظمة. في العرض الحديث للجبر الخطي من خلال الفراغات والمصفوفات المتجهية ، يمكن تفسير العديد من المشاكل من حيث الأنظمة الخطية.


لمحة عامة عن الرياضيات المصرية

وصلت الحضارة إلى مستوى عالٍ في مصر في فترة مبكرة. كانت البلاد مناسبة تمامًا للناس ، بأرضها الخصبة بفضل نهر النيل ولكن مع مناخ لطيف. كانت أيضًا دولة يسهل الدفاع عنها بوجود عدد قليل من الجيران الطبيعيين لمهاجمتها لأن الصحاري المحيطة بها كانت بمثابة حاجز طبيعي أمام القوات الغازية. نتيجة لذلك ، تمتعت مصر بفترات طويلة من السلام عندما تقدم المجتمع بسرعة.

بحلول عام 3000 قبل الميلاد ، انضمت دولتان سابقتان لتشكيل أمة مصرية واحدة تحت حاكم واحد. تم تطوير الزراعة مع الاستخدام المكثف للفترات الرطبة والجافة المنتظمة من العام. غمر النيل خلال موسم الأمطار ، مما وفر الأراضي الخصبة التي جعلت أنظمة الري المعقدة خصبة لزراعة المحاصيل. كانت معرفة موعد اقتراب موسم الأمطار أمرًا حيويًا وتطورت دراسة علم الفلك لتوفير معلومات التقويم. تطلبت المساحة الكبيرة التي تغطيها الأمة المصرية إدارة معقدة ونظامًا للضرائب وكان لابد من دعم الجيوش. نظرًا لأن المجتمع أصبح أكثر تعقيدًا ، فقد تطلب الاحتفاظ بالسجلات وإجراء الحسابات بينما كان الناس يقايضون بضائعهم. نشأت الحاجة إلى العد ، ثم كانت هناك حاجة إلى الكتابة والأرقام لتسجيل المعاملات.

بحلول عام 3000 قبل الميلاد ، كان المصريون قد طوروا بالفعل كتاباتهم الهيروغليفية (انظر مقالتنا الأرقام المصرية لمزيد من التفاصيل). يمثل هذا بداية عصر الدولة القديمة التي بنيت خلالها الأهرامات. على سبيل المثال ، تم بناء الهرم الأكبر في الجيزة حوالي عام 2650 قبل الميلاد وهو إنجاز هندسي رائع. وهذا يعطي أوضح المؤشرات على أن المجتمع في تلك الفترة قد وصل إلى مستوى عالٍ من الإنجاز.

أفسحت الحروف الهيروغليفية للكتابة والعد المجال للكتابة الهيراطيقية لكل من الكتابة والأرقام. ترد تفاصيل الأرقام نفسها في مقالتنا الأرقام المصرية. نحن هنا معنيون بالطرق الحسابية التي ابتكروها للعمل مع هذه الأرقام

لم تكن أنظمة الأرقام المصرية مناسبة تمامًا للحسابات الحسابية. ما زلنا على دراية بالأرقام الرومانية حتى يومنا هذا ومن السهل أن نفهم أنه على الرغم من أن إضافة الأرقام الرومانية مرضية تمامًا ، إلا أن الضرب والقسمة مستحيلان أساسًا. كان للنظام المصري عيوب مماثلة لتلك الموجودة في الأرقام الرومانية. ومع ذلك ، كان المصريون عمليين للغاية في نهجهم للرياضيات وتجارتهم تتطلب أن يتمكنوا من التعامل مع الكسور. تطلبت التجارة أيضًا أن يكون الضرب والقسمة ممكنًا ، لذا فقد ابتكروا طرقًا رائعة للتغلب على أوجه القصور في أنظمة الأرقام التي كان عليهم العمل بها. كان عليهم في الأساس ابتكار طرق الضرب والقسمة التي تتضمن الجمع فقط.

يمكن العثور على الأرقام الهيروغليفية المبكرة في المعابد والآثار الحجرية والمزهريات. إنهم يعطون القليل من المعرفة حول أي حسابات رياضية يمكن إجراؤها باستخدام أنظمة الأرقام. بينما كانت هذه الحروف الهيروغليفية محفورة في الحجر ، لم تكن هناك حاجة لتطوير رموز يمكن كتابتها بسرعة أكبر. ومع ذلك ، بمجرد أن بدأ المصريون في استخدام الأوراق المسطحة من قصب البردى المجفف كـ "ورق" ورأس القصب كـ "قلم" كان هناك سبب لتطوير وسائل كتابة أسرع. أدى هذا إلى تطوير الكتابة والأرقام الهيراطيقية.

لابد أنه كان هناك عدد كبير من البرديات ، كثير منها يتعامل مع الرياضيات بشكل أو بآخر ، ولكن للأسف بما أن المادة هشة إلى حد ما ، فقد هلكت جميعها تقريبًا. من اللافت للنظر أن أي منها قد نجا على الإطلاق ، وأن ذلك حدث نتيجة للظروف المناخية الجافة في مصر. بقيت وثيقتان رياضيتان رئيسيتان.

يمكنك أن ترى مثالاً للرياضيات المصرية مكتوبًا على بردية ريند وعلى ورق بردى آخر ، بردية موسكو ، مع ترجمة إلى النص الهيراطي. من هاتين الوثيقتين تأتي معظم معرفتنا بالرياضيات المصرية ، ومعظم المعلومات الرياضية الواردة في هذه المقالة مأخوذة من هاتين الوثيقتين القديمتين.



هنا هو خلف البردى


سميت بردية Rhind على اسم عالم المصريات الاسكتلندي A Henry Rhind ، الذي اشتراها في الأقصر عام 1858. ورق البردي ، عبارة عن لفيفة يبلغ طولها حوالي 6 أمتار و 1 3 كبير فارك <1> <3> مقاس عادي 3 1 من المتر ، كتبه الناسخ أحمس حوالي عام 1650 قبل الميلاد الذي صرح بأنه ينسخ مستندًا 200 سنة. لذا فإن البردية الأصلية التي تستند إليها بردية رايند تعود إلى حوالي عام 1850 قبل الميلاد.



هنا هو بردية موسكو


يعود تاريخ بردية موسكو أيضًا إلى هذا الوقت. أصبح من الشائع الآن تسمية بردية Rhind باسم Ahmes بدلاً من Rhind نظرًا لأنه يبدو من العدل تسميتها على اسم الكاتب بدلاً من اسم الرجل الذي اشتراها مؤخرًا نسبيًا. لكن الشيء نفسه غير ممكن بالنسبة إلى بردية موسكو ، لأن الكاتب الذي كتب هذه الوثيقة لم يسجل اسمه للأسف. غالبًا ما يطلق عليها بردية Golenischev على اسم الرجل الذي اشتراها. توجد بردية موسكو الآن في متحف الفنون الجميلة في موسكو ، بينما توجد بردية ريند في المتحف البريطاني في لندن.

تحتوي بردية Rhind على سبعة وثمانين مشكلة بينما تحتوي بردية موسكو على خمسة وعشرين مشكلة. غالبًا ما تكون المشكلات عملية ولكن يتم طرح القليل منها لتعليم التلاعب بنظام الأرقام نفسه دون الحاجة إلى تطبيق عملي في الاعتبار. على سبيل المثال ، تسأل المشكلات الست الأولى من ورق البردي Rhind كيفية تقسيم أرغفة nnn بين 10 رجال حيث n = 1 n = 1 n = 1 للمشكلة 1 ، n = 2 n = 2 n = 2 للمشكلة 2 ، n = 6 n = 6 n = 6 للمشكلة 3 ، n = 7 n = 7 n = 7 للمسألة 4 ، n = 8 n = 8 n = 8 للمسألة 5 ، و n = 9 n = 9 n = 9 للمسألة 6. من الواضح أن الكسور متضمنة هنا ، وفي الواقع ، فإن 81 من أصل 87 مشكلة معطاة تتضمن التعامل مع الكسور. يناقش الارتفاع في [37] مشاكل التقسيم العادل للأرغفة والتي كانت ذات أهمية خاصة في تطوير الرياضيات المصرية.

تتطلب بعض المشكلات حل معادلة. على سبيل المثال المسألة 26: الكمية المضافة إلى ربع هذه الكمية تصبح 15. ما هي الكمية؟ تتضمن المشاكل الأخرى سلسلة هندسية مثل المشكلة 64: قسّم 10 هيكات من الشعير على 10 رجال بحيث يحصل كل منهم على 1 8 كبير فارك <1> <8> معيار الحجم 8 1 من الهيكات أكثر من السابق. تتضمن بعض المشكلات الهندسة. على سبيل المثال المشكلة 50: حقل دائري قطره 9 خت. ما هي مساحتها؟ تحتوي بردية موسكو أيضًا على مشاكل هندسية.

على عكس الإغريق الذين فكروا بشكل تجريدي في الأفكار الرياضية ، كان المصريون مهتمين فقط بالحساب العملي. يعتقد معظم المؤرخين أن المصريين لم يفكروا في الأرقام على أنها كميات مجردة ولكنهم فكروا دائمًا في مجموعة محددة من 8 أشياء عندما تم ذكر 8. للتغلب على أوجه القصور في نظام الأرقام الخاص بهم ، ابتكر المصريون طرقًا ماكرة حول حقيقة أن أعدادهم كانت غير مناسبة لعملية الضرب كما هو موضح في بردية ريند.

ندرس بالتفصيل الرياضيات الموجودة في البرديات المصرية في مقال منفصل الرياضيات في البرديات المصرية. In this article we next examine some claims regarding mathematical constants used in the construction of the pyramids, in particular the Great Pyramid at Giza which, as we noted above, was built around 2650 BC.

Joseph [ 8 ] and many other authors gives some of the measurements of the Great Pyramid which make some people believe that it was built with certain mathematical constants in mind. The angle between the base and one of the faces is 51 ° 50 ' 35 ". The secant of this angle is 1 . 61806 which is remarkably close to the golden ratio 1 . 618034 . Not that anyone believes that the Egyptians knew of the secant function, but it is of course just the ratio of the height of the sloping face to half the length of the side of the square base. On the other hand the cotangent of the slope angle of 51 ° 50 ' 35 " is very close to π 4 largefrac<4> ormalsize 4 π ​ . Again of course nobody believes that the Egyptians had invented the cotangent, but again it is the ratio of the sides which it is believed was made to fit this number. Now the observant reader will have realised that there must be some sort of relationship between the golden ratio and π for these two claims to both be at least numerically accurate. In fact there is a numerical coincidence: the square root of the golden ratio times π is close to 4 , in fact this product is 3 . 996168 .

Finally we examine some details of the ancient Egyptian calendar. As we mentioned above, it was important for the Egyptians to know when the Nile would flood and so this required calendar calculations. The beginning of the year was chosen as the heliacal rising of Sirius, the brightest star in the sky. The heliacal rising is the first appearance of the star after the period when it is too close to the sun to be seen. For Sirius this occurs in July and this was taken to be the start of the year. The Nile flooded shortly after this so it was a natural beginning for the year. The heliacal rising of Sirius would tell people to prepare for the floods. The year was computed to be 365 days long and this was certainly known by 2776 BC and this value was used for a civil calendar for recording dates. Later a more accurate value of 365 1 4 365largefrac<1><4> ormalsize 3 6 5 4 1 ​ days was worked out for the length of the year but the civil calendar was never changed to take this into account. In fact two calendars ran in parallel, the one which was used for practical purposes of sowing of crops, harvesting crops etc. being based on the lunar month. Eventually the civil year was divided into 12 months, with a 5 day extra period at the end of the year. The Egyptian calendar, although changed much over time, was the basis for the Julian and Gregorian calendars.


Bayesian nonparametric density regression for ordinal responses

Maria DeYoreo , Athanasios Kottas , in Flexible Bayesian Regression Modelling , 2020

3.3.1 Modelling approach

لنفترض أن k ordinal categorical variables are recorded for each of ن individuals, along with ص continuous covariates, so that for individual أنا we observe a response vector y i = ( y i 1 , … , y i k ) and a covariate vector x i = ( x i 1 , … , x i p ) , with y i j ∈ < 1 , … , C j >and C j > 2 . Introduce latent continuous random variables z i = ( z i 1 , … , z i k ) , i = 1 , … , n , such that y i j = l if and only if γ j , l − 1 < z i j ⩽ γ j , l , for j = 1 , … , k and l = 1 , … , C j . For reasons previously mentioned, we focus on building a model for the joint density f ( z , x ) , which is a continuous density of dimension k + p , which implies a model for the conditional response distribution f ( y | x ) .

To model f ( z , x ) in a flexible way, we use a DP mixture of multivariate normals model, mixing on the mean vector and covariance matrix. We assume ( z i , x i ) | G ∼ i i d ∫ N ( z i , x i | μ , Σ ) d G ( μ , Σ ) , and we place a DP prior on the random mixing distribution جي. The hierarchical model is formulated by introducing a latent mixing parameter θ i = ( μ i , Σ i ) for each data vector, i.e.

where G | α , ψ ∼ DP ( α , G 0 ( ⋅ | ψ ) ) , with base (centering) distribution G 0 ( μ , Σ | ψ ) = N ( μ | m , V ) IW ( Σ | ν , S ) . المعلمة ν is fixed, and the model is completed with hyperpriors on ψ = ( m , V , S ) , and a prior on α، بمعنى آخر.

where W ( a S , B S ) denotes a Wishart distribution with mean a S B S , and IW ( a V , B V ) denotes an inverse-Wishart distribution with mean ( a V − ( k + p ) − 1 ) − 1 B V .

The discreteness of the DP prior for جي results in ties among the θ i , so that in practice fewer than ن distinct values for the < θ i >are effective in the hierarchical model. The data are therefore clustered into a typically small number of groups relative to ن, with the number of clusters, n ⁎ , controlled by parameter α, where larger values favour more clusters.

Based on the DP constructive definition discussed in Section 3.2.1 , the prior model for f ( z , x ) has an almost sure representation as a countable mixture of multivariate normals, and the proposed model can therefore be viewed as a nonparametric extension of the multivariate probit model with random covariates. This implies a countable mixture of normal distributions (with covariate-dependent weights) for f ( z | x , G ) , from which the latent ض may be integrated out to reveal the induced model for the ordinal regression relationships. In general, for a multivariate response Y = ( Y 1 , … , Y k ) with an associated covariate vector X, the probability that ص takes on the values l = ( l 1 , … , l k ) , where l j ∈ < 1 , … , C j >, for j = 1 , … , k , can be expressed as

with covariate-dependent weights w r ( x ) ∝ p r N ( x | μ r x , Σ r x x ) , mean vectors m r ( x ) = μ r z + Σ r z x ( Σ r x x ) − 1 ( x − μ r x ) and covariance matrices S r = Σ r z z − Σ r z x ( Σ r x x ) − 1 Σ r x z . Here, ( μ r , Σ r ) are the atoms in the DP prior constructive definition, where μ r is partitioned into μ r z and μ r x according to random vectors ض و X, and ( Σ r z z , Σ r x x , Σ r z x , Σ r x z ) are the components of the corresponding partition of covariance matrix Σ r .

To illustrate, consider a bivariate response Y = ( Y 1 , Y 2 ) , with covariates X. The probability assigned to the event ( Y 1 = l 1 ) ∩ ( Y 2 = l 2 ) is obtained using (3.3) , which involves evaluating bivariate normal distribution functions. However, one may be interested in the marginal relationships between individual components of ص and the covariates. We may obtain the probability that Y 1 and Y 2 take on some combination of values as a function of X, but also marginally how the first varies as a function of X. The marginal inference, Pr ( Y 1 = l 1 | x , G ) , is given by the expression

where m r ( x ) and s r are the conditional mean and variance for z 1 conditional on x implied by the joint distribution N ( z , x | μ r , Σ r ) . Expression (3.4) provides also the form of the ordinal regression curves in the case of a single response.

Hence, the implied regression relationships have a mixture structure with component-specific kernels which take the form of parametric probit regressions and weights which are covariate-dependent. This structure enables inference for nonlinear response curves, by favouring a set of parametric models with varying probabilities depending on the location in the covariate space. The limitations of parametric probit models – including relative covariate effects which are constant in terms of the covariate and the ordinal level, monotonicity and the single crossing property of the response curves – are thereby overcome.

We noted in Section 3.1 that computational difficulties sometimes arise in fitting parametric ordinal probit models. The reason for this is that to obtain an identifiable model, restrictions must be imposed on the covariance matrix Σ of the multivariate normal distribution for ض. One way to handle this is to restrict the covariance matrix to be a correlation matrix, which complicates Bayesian inference since there does not exist a conjugate prior for correlation matrices. Posterior simulation is further complicated by estimation of the cut-off points which are typically highly correlated with the latent responses.

In the Bayesian nonparametric model proposed, it can be shown that the mixture kernel covariance matrix can be left unstructured, and cut-offs can be fixed to arbitrary increasing values. [13] show that all parameters of the normal mixture kernel are identifiable provided each ordinal response comprises more than two classifications. This methodology focuses on multivariate ordinal responses with C j > 2 , for all ي. However, if one or more responses is binary, then the full covariance matrix of the normal mixture kernel for ( Z , X ) is not identifiable. [13] also demonstrate that, with fixed cut-offs, the model can approximate arbitrarily well any set of probabilities on the ordinal outcomes. This large support property of normal DP mixture models for ordinal responses was suggested earlier by [31] , who provided an informal argument that the normal DP mixture model for multivariate ordinal responses (without covariates) can approximate arbitrarily well any probability distribution for a contingency table. The basis for this argument is that, in the limit, one mixture component can be placed within each set of cut-offs corresponding to a specific ordinal vector, with the mixture weights assigned accordingly to each cell. This feature represents a significant advantage over parametric ordinal regression models in terms of computation.


Exponents

ملخص

Exponentiation is often thought of as repeated multiplication. For example, the expression (b^x) is equivalent to the following when (x) is an integer:

We say here that (b) is the يتمركز and that (x) is the الأس.

What happens if (x) is zero, or (x) is negative? In those cases, the exponent is defined to behave as follows:

(Note that neither the base nor the exponent needs to be integers. However, explaining how exponentiation works in these cases is beyond the scope of this document and isn't too relevant to this course.)

One example where exponents appear in code is if we had a loop that starts by performing operation then performs double that amount with each iteration. If we keep doubling the amount of work done, the code would be doing (2^n) operations on the (n^ ext) iteration.

Useful exponent identities

Power of a power

(displaystyle (b^2)^4 = (b cdot b) cdot (b cdot b) cdot (b cdot b) cdot (b cdot b) = b^8 )

Multiplying exponents

(displaystyle (b^2)cdot(b^3) = (b cdot b) cdot (b cdot b cdot b) = b^5 )

Dividing exponents

Taking the power of two multiplied terms

(displaystyle (a cdot b)^x = (a^x) cdot (b^x) )

(displaystyle (a cdot b)^2 = (a cdot b) cdot (a cdot b) = (a cdot a) cdot (b cdot b) = a^2 cdot b^2 )


10.1: Overview - Mathematics

MATH 110 - Techniques of Calculus I

جامعة ولاية بنسلفانيا
Fall Semester 2008

Office Hours: TTH: 4:00-5:30
and By Appointment

403 McAllister Building
(814) 865-3329
[email protected]

Office Hours: WF: 10:00-11:00, TTh: 2:00-4:00
and By Appointment

Textbook: Applied Calculus for the Managerial, Life, and Social Sciences, 7th Edition, by S.T. Tan (Brooks/Cole, 2007)

Note: Hardcopies, electronic copies, and electronic copies of individual chapters of the textbook and supporting materials are available for purchase at reduced cost by visiting the www.ichapters.com موقع الكتروني.

Note: Brooks/Cole also maintains a companion website for the text.

Course Description (from the Penn State University Blue Book )
TECHNIQUES OF CALCULUS I ( 4) Functions, graphs, derivatives, integrals, techniques of differentiation and integration, exponentials, improper integrals, applications. Students may take only one course for credit from MATH 110, 140, 140A, and 140B. Prerequisite: MATH 022 or satisfactory performance on the mathematics proficiency examination

Course Coverage
The goal for the course is to cover Chapters 2-6 from the text. Note that Chapter 1 is considered review material for the students. Each student should confirm that they understand the material in Chapter 1 during the first week of the course.

الامتحانات
Two evening examinations (midterms) will be given. The dates and times of these exams will be as follows:

Examination 1: Monday, October 6, 2008, 6:30 - 7:45 pm
Examination 2: Thursday, November 6, 2008, 6:30 - 7:45 pm

Information on the locations of these exams will be distributed at a future date. In addition, the math department schedules a conflict exam for each of the midterms from 5:05 - 6:20 on the same night as the regularly scheduled exam and a makeup exam scheduled on an evening different from the regularly scheduled exam night. Sign-up sheets for the conflict exam or the makeup exam will be available from your lecturers approximately one week before the exam. A valid conflict/makeup reason is required to sign up for either of these exams.

ملاحظة: If you miss an exam without an official excuse (such as illness or official university business), then you may be allowed to take a makeup exam, but with an automatic 25% deduction from the grade. To avoid this deduction, you must notify your lecturer, with your official excuse, before the date and time of the exam. This notification may be performed in person, via e-mail, or by telephone.

Final Exam
The final examination in the course will be comprehensive. It will be given during the university's final examination week, December 15-19, 2008. Do not make plans to leave the university before the end of this week. Travel plans do not constitute an official university excuse for missing an examination or for obtaining a conflict or makeup examination. Hence, the above note regarding a 25% deduction will be enforced in the event that a student's travel plans conflict with the university's designated final examination period for this course.

In-Class Quizzes
Several short quizzes will be given throughout the course of the semester during the recitation hour. The quiz questions will be similar to the assigned homework problems and the reading done in preparation for class, which is a good motivation for you to complete the suggested homework problems noted below. The purpose of the quizzes is to encourage you to keep up with your preparation (and reward you for doing so). Each quiz will consist of problems based on the materials presented during the previous week's lectures. During the first week, your first quiz score will be based on the Readiness Test to be taken through Angel. Since the purpose of the Readiness Test is to test the basic algebraic skills required to be successful in Math 110, it is critical that everyone take the test during the first week of classes. Students who score poorly on this test should work the Chapter 1 self-assessment exercises also included on Angel and, if still finding difficulty with the preparatory materials, strongly consider taking Math 22 before proceeding with Calculus. Minimally, all students should review the basic algebraic concepts covered by the test questions during the first week of the semester in preparation for the related Calculus materials.

Any student who takes the Readiness Test will have a 10 recorded for the first quiz score. A student who does not take the Readiness Test will have a 0 score assigned.

ثلاثة عشر quizzes are planned for the semester (approximately one per week and the Readiness Test). A student's quiz grade will be determined by summing each student's highest ten quiz scores and dropping the remaining ones. Each quiz will be worth 10 points.

A list of suggested homework problems appears at the end of this syllabus. These homework problems will ليس be turned in for a grade. The purpose of doing the homework is to better understand the material discussed in the lectures and to prepare oneself for quizzes and exams. Since much of this material builds upon previous material, you are encouraged to do الكل of the suggested homework and keep up with the suggested homework, even though it will not be handed in.

Academic Integrity
Academic integrity is the pursuit of scholarly activity in an open, honest and responsible manner. Academic integrity is a basic guiding principle for all academic activity at The Pennsylvania State University, and all members of the University community are expected to act in accordance with this principle. Consistent with this expectation, the University's Code of Conduct states that all students should act with personal integrity, respect other students' dignity, rights and property, and help create and maintain an environment in which all can succeed through the fruits of their efforts.

Academic integrity includes a commitment not to engage in or tolerate acts of falsification, misrepresentation or deception. Such acts of dishonesty violate the fundamental ethical principles of the University community and compromise the worth of work completed by others.

Based on the University's Faculty Senate Policy 49-20 , a range of academic sanctions may be taken against a student who engages in academic dishonesty. Please see the Eberly College of Science Academic Integrity homepage for additional information and procedures.

وضع العلامات : your course grade will be determined by your exam scores and your quiz scores.
Total possible points follow:


Bucknell Mathematics Department Blog

The Mathematics Department Virtual Student Colloquium Series will present talks by Bucknell Students Thursday, November 12 at 12:30 PM on Zoom! Students will discuss “What Did You do Last Summer?” The panel will feature Kaitlin Bonacci 󈧙 – technology consulting at Ernst & Young Jack de la Parra 󈧚 – REU on sports analytics at Carnegie Mellon University Claudia Shrefler 󈧙 – analytics internship at Geisinger Callie Valenti 󈧙 – internship at Goldman Sachs as a global investment analyst Sarah McDougall 󈧙 – REU on ”Data Science Across Disciplines” at Marquette University and will be moderated by Brendan Matthys 󈧙. [&hellip]

Comments Off on Student Panel: What did you do last summer? Nov. 12 @12:30 PM on Zoom

October 16th, 2020

“Not Linear? Not a Problem!” at 12:30 PM on 10/22 via Zoom

https://bucknell.zoom.us/j/95413936042Student Colloquium Talk by Professor Sanjay Dharmavaram Abstract: Ever wonder why mathematics classes focus so much on linear problems? In Calculus we learn about linear approximations. In Differential Equations, after classifying differential equations as linear and nonlinear, we mostly focus on linear problems. Linear Algebra focuses exclusively on systems of linear equations. There are two reasons for this: 1) nonlinear problems are hard!! Unlike linear equations, there is no unified theory that works for all nonlinear equations. 2) linear approximations are often a good starting point to study nonlinear problems. In this talk, we will make a foray into the marvelous [&hellip]

Comments Off on “Not Linear? Not a Problem!” at 12:30 PM on 10/22 via Zoom

October 1st, 2020

“Not a Normal Math Talk” at 12:30 on 10/1 via Zoom

https://bucknell.zoom.us/j/95413936042 Student Colloquium Talk by Professor Michael Reeks. Abstract: Anyone who has ever shoved a pair of headphones in their pocket knows about the following general principle of the universe:”Any flexible strand will tie itself in knots as soon as it’s given the opportunity.” As such, knots are ubiquitous in nature and art: – DNA strands, so often pictured as tidy helices, actually spend most of their time hopelessly knotted– the way in which proteins interact and function depends heavily on the way they are folded, or knotted, together– and some of the oldest known art is based on complex [&hellip]

Comments Off on “Not a Normal Math Talk” at 12:30 on 10/1 via Zoom

February 24th, 2020

“Curing Cancer: Mathematicians Want a Piece of That!” at noon on Thursday 2/27 in Olin 268

Student Colloquium Talk by Professor Allison Lewis, Lafayette College Abstract: How can mathematical modeling assist in the development of treatment protocols for cancer? Recent technological advances make it possible to collect detailed information about tumors, and yet clinical assessments of treatment responses are typically based on extremely sparse datasets. We propose a workflow for choosing an appropriate model for tumor growth and treatment response, verifying parameter identifiability, and assessing the amount of data necessary to precisely calibrate model parameters in order to make accurate predictions of tumor size at future times. Throughout this talk, we will discuss ways in which [&hellip]

Comments Off on “Curing Cancer: Mathematicians Want a Piece of That!” at noon on Thursday 2/27 in Olin 268

February 7th, 2020

“Factoring Rook Polynomials” at noon on Thursday 2/13 in Olin 268

Student Colloquium Talk by Professor Kenny Barrese, Bucknell University Abstract: Rook theory is a branch of mathematics which considers how many ways you can put rooks on a board so that no two are attacking each other. Here a “rook” is the usual chess piece, but the “board” that we are placing on probably is not an eight by eight square. One way to consider the numbers you obtain is as coefficients of a polynomial, the rook polynomial. It is a key result in rook theory that, if you define the rook polynomial correctly, it always factors completely! In fact, [&hellip]

Comments Off on “Factoring Rook Polynomials” at noon on Thursday 2/13 in Olin 268

January 23rd, 2020

“A Basic Overview of the Actuarial Profession” at noon on Thursday 1/30 in Olin 268

Student Colloquium Talk by Gloria Asare, AXA Insurance, Toronto, Canada Abstract: Come learn what it takes to become fully certified and work as an actuary. Our presenter Gloria Asare, ACAS, MAAA will touch on various topics of interest related to the actuarial field. These include: how to become an actuary the different types of actuaries that exist the types of mathematical problems actuaries solve what one’s journey to being an actuary could look like and diversity in the actuarial profession. Anyone interested in the actuarial profession (even if you don’t know what it is) is welcome! A mathematical background is [&hellip]

Comments Off on “A Basic Overview of the Actuarial Profession” at noon on Thursday 1/30 in Olin 268

November 20th, 2019

“From the Bridges of Königsberg to Data Analysis” at noon on Thursday 11/21 in Olin 268

Student Colloquium talk by Professor Chris Johnson, Bucknell University Abstract: The Prussian city of Königsberg once contained four land masses connected by a series of bridges, and citizens of the city would sometimes ponder the following simple puzzle: is it possible to walk through the city crossing each bridge exactly once? In analyzing this question, Leonhard Euler noted that the most important feature was how the bridges connected the land masses to one another. Understanding “connectedness” is one part of a branch of mathematics called topology, and in this talk I will give an overview of a few particular topological [&hellip]

Comments Off on “From the Bridges of Königsberg to Data Analysis” at noon on Thursday 11/21 in Olin 268

November 4th, 2019

“What Did You Do Last Summer?” at noon on Thursday 11/7 in Olin 268

The Mathematics Department Student Colloquium Series will present talks by Bucknell Students this Thursday, November 7 at 12:00 PM in Olin 268. Moderator will be Hannah Bokma 󈧘 where students will discuss “What Did You do Last Summer?” Speakers: Hannah Bokma 󈧘 – teaching intern, Breakthrough HoustonElise Covert 󈧘 – data analytics, American Institute for ResearchMady Lawrence 󈧙 – data analytics, Highmark HealthPhil Thompson 󈧘 – financial sales and business development intern, IHS Market Abstract: There are many exciting summer opportunities for students in the mathematical sciences! These range from internships in financial companies to research experiences at other universities [&hellip]

Comments Off on “What Did You Do Last Summer?” at noon on Thursday 11/7 in Olin 268

October 24th, 2019

“Archimedes’ Cattle Problem” at noon on Thursday 10/24 in Olin 268

Student Colloquium talk by Professor Krishnan (Ravi) Shankar, University of Oklahoma Title: Archimedes’ Cattle Problem Abstract: Back in antiquity Archimedes devised a mathematical problem in the form of 22 elegiac couplets and delivered them to Eratosthenes of Cyrene (as a challenge of sorts). The problem is in three parts of increasing difficulty and the solution is rather astonishing, both for its complexity and for the problem’s ability to anticipate mathematics that didn’t come about for 2000 years (Pell’s equation). We will explore the problem and its solution (which was only completely solved in 1889 by Amthor) and ask ourselves the [&hellip]

Comments Off on “Archimedes’ Cattle Problem” at noon on Thursday 10/24 in Olin 268

September 30th, 2019

Mathematics Alumni Career Panel at noon on Thursday 10/3 in Olin 268

Hear advice and perspectives from Bucknell alumni who will examine career paths that utilize the mathematics degree while discussing their work and available opportunities. The conversation will include a question and answer period and an opportunity to meet (and network with!) the alumni panelists. Pizza and calzones will be provided. This event is sponsored by the Mathematics Department and the Center for Career Advancement. Panelists: Allison Gibson ‘13, Consultant, Boston Consulting Group MBA Graduate 2019, Kellogg School of Management, Northwestern University Rachel Guen ‘19, Associate Analyst, Moody’s Investors Service Zach Moon, ASA ‘16, Actuarial Advisor, Cigna Jin On ’12, Manager, [&hellip]

Comments Off on Mathematics Alumni Career Panel at noon on Thursday 10/3 in Olin 268


شاهد الفيديو: OVERZICHT SNDWAY SW-T60 LASER afstand METER 60 METER TESTS (ديسمبر 2021).