مقالات

7.2: ضرب وتقسيم التعبيرات المنطقية


أهداف التعلم

  • اضرب التعابير المنطقية.
  • قسّم التعبيرات المنطقية.
  • اضرب واقسم التوابع الكسرية.

ضرب التعابير المنطقية

عند ضرب الكسور ، يمكننا ضرب البسط والمقام معًا ثم تقليلها ، كما هو موضح:

( dfrac {3} {5} cdot dfrac {5} {9} = dfrac {3 cdot 5} {5 cdot 9} = dfrac { color {Cerulean} { stackrel {1} { إلغاء { color {black} {3}}}} color {black} { cdot} color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ Cancel { color {black} {5}}}} } { color {Cerulean} { stackrel { إلغاء { color {black} {5}}} {1}} color {black} { cdot} color {Cerulean} { stackrel { إلغاء { اللون {أسود} {9}}} {3}}} color {black} {= dfrac {1} {3}} )

يتم تنفيذ ضرب التعبيرات المنطقية بطريقة مماثلة. فمثلا،

( dfrac {y} {x} cdot dfrac {x} {y ^ {2}} = dfrac {y cdot x} {x cdot y ^ {2}} = dfrac { color { Cerulean} { stackrel {1} ​​{ Cancel { color {black} {y}}}} color {black} { cdot} color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ إلغاء { color { أسود} {x}}}} { color {Cerulean} { stackrel { Cancel { color {black} {x}}} {1}} color {black} { cdot} color {Cerulean} { stackrel { Cancel { color {black} {y ^ {2}}}} {3}}} color {black} {= dfrac {1} {y}} )

بشكل عام ، بالنظر إلى كثيرات الحدود (P ) ، (Q ) ، (R ) ، و (S ) ، حيث (Q ≠ 0 ) و (S 0 ) ، لدينا

[ dfrac {P} {Q} cdot dfrac {R} {S} = dfrac {P R} {Q S} ]

في هذا القسم ، افترض أن جميع التعبيرات المتغيرة في المقام ليست صفرية ما لم يذكر خلاف ذلك.

مثال ( PageIndex {1} )

تتضاعف:

( dfrac {12 x ^ {2}} {5 y ^ {3}} cdot dfrac {20 y ^ {4}} {6 x ^ {3}} )

المحلول:

اضرب البسط والمقام ثم احذف العوامل المشتركة.

( begin {align} dfrac {12 x ^ {2}} {5 y ^ {3}} cdot dfrac {20 y ^ {4}} {6 x ^ {3}} & = dfrac { 240x ^ {2} y ^ {4}} {30x ^ {3} y ^ {3}} qquad quad : : color {Cerulean} {Multiply.} & = dfrac { color { Cerulean} { stackrel {8} { Cancel { color {black} {240}}} color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ Cancel { color {black} {x ^ {2}} }}} color {Cerulean} { stackrel {y} { Cancel { color {black} {y ^ {4}}}}} { color {Cerulean} { stackrel { Cancel { color { أسود} {30}}} {1}} color {Cerulean} { stackrel { Cancel { color {black} {x ^ {3}}}} {x}} color {Cerulean} { stackrel { إلغاء { color {black} {y ^ {3}}}} {1}}} qquad color {Cerulean} {Cancel.} & = dfrac {8 y} {x} end {align } )

إجابه:

( dfrac {8y} {x} )

مثال ( PageIndex {2} )

تتضاعف:

( dfrac {x-3} {x + 5} cdot dfrac {x + 5} {x + 7} )

المحلول:

اترك المنتج في شكل محلل وألغ العوامل المشتركة.

( start {align} dfrac {x-3} {x + 5} cdot dfrac {x + 5} {x + 7} & = dfrac {(x-3) cdot color {Cerulean} { إلغاء { color {black} {(x + 5)}}}} { color {Cerulean} { Cancel { color {black} {(x + 5)}}} color {black} { cdot (x + 7)}} & = dfrac {x-3} {x + 7} end {align} )

إجابه:

( dfrac {x-3} {x + 7} )

مثال ( PageIndex {3} )

تتضاعف:

( dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3}} {(2 x-1)} cdot dfrac {x (2 x-1)} {3 x ^ {2} y (x + 3 )} )

المحلول:

اترك كثيرات الحدود في البسط والمقام محللين في عوامل حتى نتمكن من حذف العوامل. بمعنى آخر ، لا تقم بتطبيق خاصية التوزيع.

( begin {align} dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3}} {(2 x-1)} cdot dfrac {x (2 x-1)} {3 x ^ {2} y (x + 3)} & = dfrac {15 x ^ {3} y ^ {3} (2 x-1)} {3 x ^ {2} y (2 x-1) (x + 3)} qquad qquad color {Cerulean} {Multiply.} & = dfrac { color {Cerulean} { stackrel {5} { Cancel { color {black} {15}}}} color {Cerulean } { stackrel {x} { Cancel { color {black} {x ^ {3}}}} color {Cerulean} { stackrel {y ^ {2}} { Cancel { color {black} {y ^ {3}}}} color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ Cancel { color {black} {(2x-1)}}}}} { color {Cerulean} { إلغاء { color {black} {3}} Cancel { color {black} {x ^ {2}}} Cancel { color {black} {y}} Cancel { color {black} {(2x- 1)}}} color {black} {(x + 3)}} qquad color {Cerulean} {إلغاء.} & = dfrac {5xy ^ {2}} {x + 3} end { محاذاة} )

إجابه:

( dfrac {5 x y ^ {2}} {x + 3} )

بشكل نموذجي ، لن يتم إعطاء التعبيرات المنطقية في شكل عامل. في هذه الحالة ، يجب أولاً تحليل جميع البسط والمقام بالكامل. بعد ذلك ، اضرب وألغ أي عوامل مشتركة ، إن وجدت.

مثال ( PageIndex {4} )

تتضاعف:

( dfrac {x + 5} {x-5} cdot dfrac {x-5} {x ^ {2} -25} )

المحلول

حلل المقام (x ^ {2} −25 ) كفرق بين المربعات. ثم اضرب وألغ.

( begin {align} dfrac {x + 5} {x-5} cdot dfrac {x-5} {x ^ {2} -25} & = dfrac {x + 5} {x-5 } cdot dfrac {x-5} {(x + 5) (x-5)} qquad qquad color {Cerulean} {Factor.} & = dfrac { color {Cerulean} { stackrel {1} { إلغاء { اللون {أسود} {(x + 5)}}} color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ Cancel { color {black} {(x-5)}} }}} { color {Cerulean} { Cancel { color {black} {(x-5)}}} color {Cerulean} { Cancel { color {black} {(x + 5)}}} color {black} {(x-5)}} qquad color {Cerulean} {إلغاء.} & = dfrac {1} {x-5} end {align} )

ضع في اعتبارك أن 1 دائمًا عامل ؛ لذلك عندما يُلغى البسط بالكامل ، تأكد من كتابة العامل 1.

إجابه:

( dfrac {1} {x-5} )

مثال ( PageIndex {5} )

تتضاعف:

المحلول:

من أفضل الممارسات ترك الإجابة النهائية في شكل عامل.

إجابه:

( dfrac {(x + 2) (x-4)} {(x-2) (x + 7)} )

مثال ( PageIndex {6} )

تتضاعف:

المحلول:

ثلاثي الحدود (- 2x ^ {2} + x + 3 ) في البسط له معامل بادئة سالب. تذكر أنه من أفضل الممارسات أن تقوم أولاً بإخراج (- 1 ) ثم عامل ثلاثي الحدود الناتج.

إجابه:

(- dfrac {3 (2 x-3)} {x (x + 4)} )

مثال ( PageIndex {7} )

تتضاعف:

( dfrac {7-x} {x ^ {2} +3 x} cdot dfrac {x ^ {2} +10 x + 21} {x ^ {2} -49} )

المحلول:

نستبدل (7 − x ) بـ (- 1 (x − 7) ) حتى نتمكن من إلغاء هذا العامل.

( begin {align} dfrac {7-x} {x ^ {2} +3 x} cdot dfrac {x ^ {2} +10 x + 21} {x ^ {2} -49} & = dfrac {-1 (x-7)} {x (x + 3)} cdot dfrac {(x + 3) (x + 7)} {(x + 7) (x-7)} & = dfrac {-1 color {Cerulean} { Cancel { color {black} {(x-7)}} Cancel { color {black} {(x + 3)}} إلغاء { color {black} {(x + 7)}}}} {x color {Cerulean} { إلغاء { color {black} {(x + 3)}} إلغاء { color {black} {(x + 7 )}} إلغاء { color {black} {(x-7)}}}} & = dfrac {-1} {x} & = - dfrac {1} {x} end { محاذاة} )

إجابه:

(- dfrac {1} {x} )

تمرين ( PageIndex {1} )

تتضاعف:

( dfrac {x ^ {2} -64} {8-x} cdot dfrac {x + x ^ {2}} {x ^ {2} +9 x + 8} )

إجابه

(- س )

قسمة التعبيرات المنطقية

لقسمة كسرين ، نضرب في مقلوب المقسوم عليه ، كما هو موضح:

( dfrac {5} {8} div color {OliveGreen} { dfrac {1} {2}} color {black} {=} dfrac {5} {8} cdot color {OliveGreen} { dfrac {2} {1}} color {black} {=} dfrac {5 cdot color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ Cancel { color {black} {2}}}} } { color {Cerulean} { stackrel { إلغاء { color {black} {8}}} {4}} color {black} { cdot 1}} = dfrac {5} {4} )

يتم تنفيذ قسمة التعبيرات المنطقية بطريقة مماثلة. فمثلا،

( dfrac {x} {y ^ {2}} div color {OliveGreen} { dfrac {1} {y}} color {black} {=} dfrac {x} {y ^ {2} } cdot color {OliveGreen} { dfrac {y} {1}} color {black} {=} dfrac {x cdot color {Cerulean} { stackrel {1} ​​{ إلغاء { color { أسود} {y}}}} { color {Cerulean} { stackrel { Cancel { color {black} {y ^ {2}}}} {y}} color {black} { cdot 1} } = dfrac {x} {y} )

بشكل عام ، معطى كثيرات الحدود ص, س, ص، و س، حيث (Q ≠ 0 ) ، (R ≠ 0 ) ، و (S ≠ 0 ) ، لدينا

[ dfrac {P} {Q} div dfrac {R} {S} = dfrac {P} {Q} cdot dfrac {S} {R} = dfrac {P S} {Q R} ]

مثال ( PageIndex {8} )

يقسم:

( dfrac {8 x ^ {5} y} {25 z ^ {6}} div dfrac {20 x y ^ {4}} {15 z ^ {3}} )

المحلول:

أولًا ، اضرب في مقلوب المقسوم عليه ثم احذفه.

( begin {align} dfrac {8 x ^ {5} y} {25 z ^ {6}} div color {Cerulean} { dfrac {20 xy ^ {4}} {15 z ^ {3 }}} & color {black} {=} dfrac {8 x ^ {5} y} {25 z ^ {6}} cdot color {Cerulean} { dfrac {15 z ^ {3}} { 20 xy ^ {4}}} qquad color {Cerulean} {} ضرب : ب : the : متبادل : من : the : divisor. & = dfrac {120 x ^ {5} yz ^ {3}} {500 xy ^ {4} z ^ {6}} & = dfrac { color {Cerulean} { stackrel {6} { Cancel { color {black} {120}} } stackrel {x ^ {4}} { إلغاء { اللون {أسود} {x ^ {5}}}} إلغاء { اللون {أسود} {y}} إلغاء { اللون {أسود} {z ^ {3}}}} { color {Cerulean} { stackrel { Cancel { color {black} {500}}} {25} Cancel { color {black} {x}} stackrel { إلغاء { color {black} {y ^ {4}}}} {y ^ {3}} stackrel { Cancel { color {black} {z ^ {6}}}} {z ^ {3}} }} qquad color {Cerulean} {إلغاء.} & = dfrac {6x ^ {4}} {25y ^ {3} z ^ {3}} end {align} )

إجابه:

( dfrac {6 x ^ {4}} {25 y ^ {3} z ^ {3}} )

مثال ( PageIndex {9} )

يقسم:

( dfrac {x + 2} {x ^ {2} -4} div dfrac {x + 3} {x-2} )

المحلول:

بعد الضرب في مقلوب المقسوم عليه ، عامل وإلغاء.

( begin {align} dfrac {x + 2} {x ^ {2} -4} div color {Cerulean} { dfrac {x + 3} {x-2}} & = dfrac {x +2} {x ^ {2} -4} cdot color {Cerulean} { dfrac {x-2} {x + 3}} qquad quad : qquad qquad color {Cerulean} {Multiply : بواسطة : the : متبادل : من : : المقسوم.} & = dfrac {(x + 2)} {(x + 2) (x-2)} cdot dfrac { (x-2)} {(x + 3)} qquad quad color {Cerulean} {Factor.} & = dfrac { color {Cerulean} { Cancel { color {black} {(x +2)}} إلغاء { اللون {أسود} {(x-2)}}} { color {Cerulean} { إلغاء { color {black} {(x + 2)}} إلغاء { color {black} {(x-2)}}} color {black} {(x + 3)}} qquad quad color {Cerulean} {إلغاء.} & = dfrac {1} {x +3} نهاية {محاذاة} )

إجابه:

( dfrac {1} {x + 3} )

مثال ( PageIndex {10} )

يقسم:

المحلول:

ابدأ بضرب مقلوب المقسوم عليه. بعد القيام بذلك ، عامل وإلغاء.

إجابه:

( dfrac {(x-8) (x-5)} {(x + 7) ^ {2}} )

مثال ( PageIndex {11} )

يقسم:

المحلول:

تمامًا كما نفعل مع الكسور ، فكر في المقسوم عليه ((2x − 3) ) ككسر جبري على 1.

إجابه:

(- dfrac {2 x + 3} {x + 2} )

تمرين ( PageIndex {2} )

يقسم:

إجابه

(- 4 × ^ {3} -8 × ^ {2} )

ضرب وتقسيم الدوال العقلانية

يمكن تبسيط حاصل ضرب ودالتين منطقيتين باستخدام الأساليب الموضحة في هذا القسم. تتكون القيود المفروضة على مجال المنتج من قيود كل وظيفة.

مثال ( PageIndex {12} )

احسب ((f⋅g) (x) ) وحدد القيود على المجال.

المحلول:

في هذه الحالة ، يتكون مجال (f (x) ) من جميع الأرقام الحقيقية باستثناء 0 ، ويتكون مجال (g (x) ) من جميع الأرقام الحقيقية باستثناء ( dfrac {1} {4 } ).

لذلك ، يتكون مجال المنتج من جميع الأرقام الحقيقية باستثناء 0 و ( dfrac {1} {4} ). اضرب الدوال ثم بسّط النتيجة.

إجابه:

((f cdot g) (x) = - dfrac {4 x + 1} {5 x} ) ، حيث (x neq 0، dfrac {1} {4} )

ستتألف القيود المفروضة على مجال حاصل القسمة من قيود كل وظيفة بالإضافة إلى القيود المفروضة على المعاملة بالمثل للمقسوم عليه.

مثال ( PageIndex {13} )

احسب ((f / g) (x) ) وحدد القيود.

المحلول:

في هذه الحالة ، يتكون مجال (f (x) ) من جميع الأرقام الحقيقية باستثناء 3 و 8 ، ويتكون مجال (g (x) ) من جميع الأرقام الحقيقية باستثناء 3. بالإضافة إلى ذلك ، (g (x) ) له قيود على −8. لذلك ، مجال هذا الحاصل يتكون من جميع الأعداد الحقيقية باستثناء 3 و 8 و 8.

إجابه:

((f / g) (x) = 1 ) حيث (x neq 3، 8، -8 )

الماخذ الرئيسية

  • بعد ضرب المقادير الكسرية ، حلل كلًا من البسط والمقام ثم احذف العوامل المشتركة. قم بتدوين القيود المفروضة على المجال. القيم التي تعطي قيمة 0 في المقام هي القيود.
  • لقسمة التعبيرات المنطقية ، اضرب في مقلوب المقسوم عليه.
  • تتكون القيود المفروضة على مجال المنتج من القيود المفروضة على مجال كل عامل.
  • تتكون القيود المفروضة على مجال حاصل القسمة من القيود المفروضة على مجال كل تعبير منطقي وكذلك القيود المفروضة على مقلوب المقسوم عليه.

تمرين ( PageIndex {2} ) ضرب التعبيرات المنطقية

تتضاعف. (افترض أن جميع القواسم ليست صفرية.)

  1. ( dfrac {2 x} {3} cdot dfrac {9} {4 × ^ {2}} )
  2. (- dfrac {5 x} {3 y} cdot dfrac {y ^ {2}} {25 x} )
  3. ( dfrac {5 x ^ {2}} {2 y} cdot dfrac {4 y ^ {2}} {15 x ^ {3}} )
  4. ( dfrac {16 a ^ {4}} {7 b ^ {2}} cdot dfrac {49 b ^ {3}} {2 a ^ {3}} )
  5. ( dfrac {x-6} {12 x ^ {3}} cdot dfrac {24 x ^ {2}} {x-6} )
  6. ( dfrac {x + 10} {2x − 1} cdot dfrac {x − 2} {x + 10} )
  7. ( dfrac {(y-1) ^ {2}} {y + 1} cdot dfrac {1} {y-1} )
  8. ( dfrac {y ^ {2} -9} {y + 3} cdot dfrac {2 y-3} {y-3} )
  9. ( dfrac {2 a-5} {a-5} cdot dfrac {2 a + 5} {4 a ^ {2} -25} )
  10. ( dfrac {2 a ^ {2} -9 a + 4} {a ^ {2} -16} cdot left (a ^ {2} +4 a right) )
  11. ( dfrac {2 x ^ {2} +3 x-2} {(2 x-1) ^ {2}} cdot dfrac {2 x} {x + 2} )
  12. ( dfrac {9x ^ {2} + 19x + 2} {4 − x ^ {2}} cdot dfrac {x ^ {2} −4x + 4} {9x ^ {2} −8x − 1} )
  13. ( dfrac {x ^ {2} + 8x + 16} {16 − x ^ {2}} cdot dfrac {x ^ {2} −3x − 4} {x ^ {2} + 5x + 4} )
  14. ( dfrac {x ^ {2} −x − 2} {x ^ {2} + 8x + 7} cdot dfrac {x ^ {2} + 2x − 15} {x ^ {2} −5x + 6} )
  15. ( dfrac {x + 1} {x − 3} cdot dfrac {3 − x} {x + 5} )
  16. ( dfrac {2x − 1} {x − 1} cdot dfrac {x + 6} {1−2x} )
  17. ( dfrac {9 + x} {3x + 1} cdot dfrac {3} {x + 9} )
  18. ( dfrac {1} {2 + 5x} cdot dfrac {5x + 2} {5x} )
  19. ( dfrac {100-y ^ {2}} {y-10} cdot dfrac {25 y ^ {2}} {y + 10} )
  20. ( dfrac {3 y ^ {3}} {6 y-5} cdot dfrac {36 y ^ {2} -25} {5 + 6 y} )
  21. ( dfrac {3 a ^ {2} +14 a-5} {a ^ {2} +1} cdot dfrac {3 a + 1} {1-9 a ^ {2}} )
  22. ( dfrac {4a ^ {2} −16a} {4a − 1} cdot dfrac {1−16a ^ {2}} {4a ^ {2} −15a − 4} )
  23. ( dfrac {x + 9} {- x ^ {2} +14 x-45} cdot left (x ^ {2} -81 right) )
  24. ( dfrac {1} {2 + 5 x} cdot left (25 × ^ {2} +20 × + 4 يمين) )
  25. ( dfrac {x ^ {2} + x − 6} {3x ^ {2} + 15x + 18} cdot dfrac {2x ^ {2} −8} {x ^ {2} −4x + 4} )
  26. ( dfrac {5x ^ {2} −4x − 1} {5x ^ {2} −6x + 1} cdot dfrac {25x ^ {2} −10x + 1} {3−75x ^ {2}} )
إجابه

1. ( dfrac {3} {2x} )

3. ( dfrac {2y} {3x} )

5. ( dfrac {2} {x} )

7. ( dfrac {y − 1} {y + 1} )

9. ( dfrac {1} {a − 5} )

11. ( dfrac {2x} {2x − 1} )

13. (−1)

15. (- dfrac {x + 1} {x + 5} )

17. ( dfrac {3} {3x + 1} )

19. (- 25 س ^ {2} )

21. (- dfrac {a + 5} {a ^ {2} +1} )

23. (- dfrac {(x + 9) ^ {2}} {x-5} )

25. ( dfrac {2} {3} )

تمرين ( PageIndex {3} ) قسمة التعبيرات المنطقية

يقسم. (افترض أن جميع القواسم ليست صفرية.)

  1. ( dfrac {5 x} {8} div dfrac {15 × ^ {2}} {4} )
  2. ( dfrac {3} {8 y} div dfrac {15} {2 y ^ {2}} )
  3. ( dfrac { dfrac {5 x ^ {9}} {3 y ^ {3}}} { dfrac {25 x ^ {10}} {9 y ^ {5}}} )
  4. ( dfrac { dfrac {12 x ^ {4} y ^ {2}} {21 z ^ {5}}} { dfrac {6 x ^ {3} y ^ {2}} {7 z ^ { 3}}} )
  5. ( dfrac {(x-4) ^ {2}} {30 × ^ {4}} div dfrac {x-4} {15 x} )
  6. ( dfrac {5 y ^ {4}} {10 (3 y-5) ^ {2}} div dfrac {10 y ^ {5}} {2 (3 y-5) ^ {3}} )
  7. ( dfrac {x ^ {2} -9} {5 x} div (x-3) )
  8. ( dfrac {y ^ {2} -64} {8 y} div (8 + y) )
  9. ( dfrac {(a-8) ^ {2}} {2 a ^ {2} +10 a} div dfrac {a-8} {a} )
  10. ( dfrac {2} {4 a ^ {2} b ^ {3} (a-2 b)} div 12 a b (a-2 b) ^ {5} )
  11. ( dfrac {x ^ {2} +7 x + 10} {x ^ {2} +4 x + 4} div dfrac {1} {x ^ {2} -4} )
  12. ( dfrac {2 x ^ {2} -x-1} {2 x ^ {2} -3 x + 1} div dfrac {1} {4 x ^ {2} -1} )
  13. ( dfrac {y + 1} {y ^ {2} -3 y} div dfrac {y ^ {2} -1} {y ^ {2} -6 y + 9} )
  14. ( dfrac {9-a ^ {2}} {a ^ {2} -8 a + 15} div dfrac {2 a ^ {2} -10 a} {a ^ {2} -10 a + 25} )
  15. ( dfrac {a ^ {2} -3 a-18} {2 a ^ {2} -11 a-6} div dfrac {a ^ {2} + a-6} {2 a ^ {2 } -a-1} )
  16. ( dfrac {y ^ {2} -7 y + 10} {y ^ {2} +5 y-14} div dfrac {2 y ^ {2} -9 y-5} {y ^ {2 } +14 ص + 49} )
  17. ( dfrac {6 y ^ {2} + y-1} {4 y ^ {2} +4 y + 1} div dfrac {3 y ^ {2} +2 y-1} {2 y ^ {2} -7 ص -4} )
  18. ( dfrac {x ^ {2} −7x − 18} {x ^ {2} + 8x + 12} div dfrac {x ^ {2} −81} {x ^ {2} + 12x + 36} )
  19. ( dfrac {4a ^ {2} −b ^ {2}} {b + 2a} div (b − 2a) ^ {2} )
  20. ( dfrac {x ^ {2} −y ^ {2}} {y + x} div (y − x) ^ {2} )
  21. ( dfrac {5 y ^ {2} (y-3)} {4 x ^ {3}} div dfrac {25 y (3-y)} {2 x ^ {2}} )
  22. ( dfrac {15 x ^ {3}} {3 (y + 7)} div dfrac {25 x ^ {6}} {9 (7 + y) ^ {2}} )
  23. ( dfrac {3 x + 4} {x-8} div dfrac {7 x} {8-x} )
  24. ( dfrac {3x − 2} {2x + 1} div dfrac {2−3x} {3x} )
  25. ( dfrac {(7 x-1) ^ {2}} {4 x + 1} div dfrac {28 x ^ {2} -11 x + 1} {1-4 x} )
  26. ( dfrac {4 x} {(x + 2) ^ {2}} div dfrac {2-x} {x ^ {2} -4} )
  27. ( dfrac {a ^ {2} -b ^ {2}} {a} div (b-a) ^ {2} )
  28. ( dfrac {(a − 2b) ^ {2}} {2b} div (2b ^ {2} + ab − a ^ {2}) )
  29. ( dfrac {x ^ {2} −6x + 9} {x ^ {2} + 7x + 12} div dfrac {9 − x ^ {2}} {x ^ {2} + 8x + 16} )
  30. ( dfrac {2x ^ {2} −9x − 5} {25 − x ^ {2}} div dfrac {1−4x + 4x ^ {2}} {- 2x ^ {2} −9x + 5 } )
  31. ( dfrac {3x ^ {2} −16x + 5} {100−4x ^ {2}} div dfrac {9x ^ {2} −6x + 1} {3x ^ {2} + 14x − 5} )
  32. ( dfrac {10x ^ {2} −25x − 15} {x ^ {2} −6x + 9} div dfrac {9 − x ^ {2}} {x ^ {2} + 6x + 9} )
إجابه

1. ( dfrac {1} {6x} )

3. ( dfrac {3y ^ {2}} {5x} )

5. ( dfrac {x − 4} {2x3} )

7. ( dfrac {x + 3} {5x} )

9. ( dfrac {a − 8} {2 (a + 5)} )

11. ((س + 5) (س − 2) )

13. ( dfrac {y − 3} {y (y − 1)} )

15. ( dfrac {a − 1} {a − 2} )

17. ( dfrac {y − 4} {y + 1} )

19. ( dfrac {1} {2a − b} )

21. (- dfrac {y} {10x} )

23. (- dfrac {3x + 4} {7x} )

25. (- dfrac {7x − 1} {4x + 1} )

27. ( dfrac {a + b} {a (a-b)} )

29. (- dfrac {(x − 3) (x + 4)} {(x + 3) ^ {2}} )

31. (- dfrac {1} {4} )

تمرين ( PageIndex {4} ) قسمة التعبيرات المنطقية

تذكر أنه يجب إجراء الضرب والقسمة بالترتيب الذي يظهران به من اليسار إلى اليمين. بسّط ما يلي.

  1. ( dfrac {1} {x ^ {2}} cdot dfrac {x-1} {x + 3} div dfrac {x-1} {x ^ {3}} )
  2. ( dfrac {x − 7} {x + 9} cdot dfrac {1} {x ^ {3}} div dfrac {x − 7} {x} )
  3. ( dfrac {x + 1} {x − 2} div dfrac {x} {x − 5} cdot dfrac {x ^ {2}} {x + 1} )
  4. ( dfrac {x + 4} {2x + 5} div dfrac {x − 3} {2x + 5} cdot dfrac {x + 4} {x − 3} )
  5. ( dfrac {2x − 1} {x + 1} div dfrac {x − 4} {x ^ {2} +1} cdot dfrac {x − 4} {2x − 1} )
  6. ( dfrac {4x ^ {2} −1} {3x + 2} div dfrac {2x − 1} {x + 5} cdot dfrac {3x + 2} {2x + 1} )
إجابه

1. ( dfrac {x} {x + 3} )

3. ( dfrac {x (x − 5)} {x − 2} )

5. ( dfrac {x ^ {2} +1} {x + 1} )

تمرين ( PageIndex {5} ) مضاعفة الدوال المنطقية وتقسيمها

احسب ((f⋅g) (x) ) وحدد القيود على المجال.

  1. (f (x) = dfrac {1} {x} ) و (g (x) = dfrac {1} {x − 1} )
  2. (f (x) = dfrac {x + 1} {x − 1} ) و (g (x) = x ^ {2} −1 )
  3. (f (x) = dfrac {3x + 2} {x + 2} ) و (g (x) = dfrac {x ^ {2} −4} {(3x + 2) ^ {2} } )
  4. (f (x) = dfrac {(1−3x)} {2x − 6} ) و (g (x) = dfrac {(x − 6) ^ {2}} {9x ^ {2} −1} )
  5. (f (x) = dfrac {25x ^ {2} −1} {x ^ {2} + 6x + 9} ) و (g (x) = dfrac {x ^ {2} −9} {5x + 1} )
  6. (f (x) = dfrac {x ^ {2} −49} {2x ^ {2} + 13x − 7} ) و (g (x) = dfrac {4x ^ {2} −4x + 1} {7 − س} )
إجابه

1. ((f⋅g) (x) = dfrac {1} {x (x − 1)}؛ x ≠ 0، 1 )

3. ((f⋅g) (x) = dfrac {x − 2} {3x + 2}؛ x ≠ −2، - dfrac {2} {3} )

5. ((f⋅g) (x) = dfrac {(x − 3)} {(5x − 1) x + 3}؛ x ≠ −3، - dfrac {1} {5} )

تمرين ( PageIndex {6} ) مضاعفة الدوال المنطقية وتقسيمها

احسب ((f / g) (x) ) واذكر القيود.

  1. (f (x) = dfrac {1} {x} ) و (g (x) = dfrac {x − 2} {x − 1} )
  2. (f (x) = dfrac {(5x + 3) ^ {2}} {x ^ {2}} ) و (g (x) = dfrac {5x + 3} {6 − x} )
  3. (f (x) = dfrac {5 − x} {(x − 8) ^ {2}} ) و (g (x) = dfrac {x ^ {2} −2} {5x − 8 } )
  4. (f (x) = dfrac {x ^ {2} −2x − 1} {5x ^ {2} −3x − 10} ) و (g (x) = dfrac {2x ^ {2} - 5x − 3} {x ^ {2} −7x + 12} )
  5. (f (x) = dfrac {3x ^ {2} + 11x − 4} {9x ^ {2} −6x + 1} ) و (g (x) = dfrac {x ^ {2} - 2x + 1} {3x ^ {2} −4x + 1} )
  6. (f (x) = dfrac {36 − x ^ {2}} {x ^ {2} + 12x + 36} ) و (g (x) = dfrac {x ^ {2} −12x + 3} {6x ^ {2} + 4x − 12} )
إجابه

1. ((f / g) (x) = dfrac {x − 1} {x (x − 2)}؛ x ≠ 0، 1، 2 )

3. ((f / g) (x) = - dfrac {1} {(x − 8) (x + 5)}؛ x ≠ ± 5، 8 )

5. ((f / g) (x) = dfrac {(x + 4)} {(x − 1)}؛ x ≠ dfrac {1} {3}، 1 )

تمرين ( PageIndex {7} ) مواضيع لوحة المناقشة

  1. في تاريخ الكسور ، من الذي يُنسب إليه أول استخدام لشريط الكسور؟
  2. كيف استخدم قدماء المصريين الكسور؟
  3. اشرح سبب تقييد (x = 7 ) على ( dfrac {1} {x} div dfrac {x − 7} {x − 2} ).
إجابه

1. قد تختلف الإجابة

3. قد تختلف الإجابة


7.1 اضرب وقسم التعبيرات المنطقية

استعرضنا سابقًا خصائص الكسور وعملياتها. قدمنا ​​الأعداد الكسرية ، وهي مجرد كسور حيث يكون البسط والمقام عددًا صحيحًا. في هذا الفصل ، سوف نتعامل مع الكسور التي يكون البسط والمقام فيها كثيرات الحدود. نسمي هذا النوع من التعبير تعبيرًا منطقيًا.

تعبير عقلاني

التعبير المنطقي هو تعبير بالصيغة p q ، p q ، أين ص و ف هي كثيرة الحدود و q ≠ 0. ف ≠ 0.

فيما يلي بعض الأمثلة على التعبيرات المنطقية:

سنفعل نفس العمليات باستخدام المقادير الكسرية التي أجريناها مع الكسور. سنبسطها ونجمعها ونطرحها ونضربها ونقسمها ونستخدمها في التطبيقات.

حدد القيم التي يكون التعبير العقلاني غير معرّف لها

إذا كان المقام صفرًا ، فيكون التعبير المنطقي غير معرّف. قد يكون بسط التعبير المنطقي 0 - لكن ليس المقام.

عندما نتعامل مع كسر عددي ، فمن السهل تجنب القسمة على صفر لأننا نرى الرقم في المقام. لتجنب القسمة على صفر في التعبير المنطقي ، يجب ألا نسمح بقيم المتغير التي تجعل المقام صفرًا.

لذا قبل أن نبدأ أي عملية بتعبير كسري ، نفحصها أولاً لإيجاد القيم التي تجعل المقام صفرًا. بهذه الطريقة ، عندما نحل معادلة عقلانية على سبيل المثال ، سنعرف ما إذا كانت الحلول الجبرية التي نجدها مسموحًا بها أم لا.

كيف

حدد القيم التي يكون التعبير المنطقي غير معرّف لها.

مثال 7.1

حدد القيمة التي يكون كل تعبير منطقي لها غير معرّف:

المحلول

سيكون التعبير غير معرّف عندما يكون المقام صفرًا.

حدد القيمة التي يكون كل تعبير منطقي لها غير معرّف.

حدد القيمة التي يكون كل تعبير منطقي لها غير معرّف.

تبسيط التعبيرات المنطقية

يعتبر الكسر مبسطًا إذا لم يكن هناك عوامل مشتركة ، بخلاف 1 ، في البسط والمقام. وبالمثل ، فإن التعبير المنطقي المبسط ليس له عوامل مشتركة ، بخلاف 1 ، في البسط والمقام.

التعبير العقلاني المبسط

يعتبر التعبير المنطقي مبسطًا إذا لم يكن هناك عوامل مشتركة في البسط والمقام.

نستخدم خاصية الكسور المتكافئة لتبسيط الكسور العددية. نعيد صياغتها هنا حيث سنستخدمها أيضًا لتبسيط المقادير الكسرية.

خاصية الكسور المتكافئة

لو أ, ب، و ج هي أرقام حيث ب ≠ 0 ، ج ≠ 0 ، ب 0 ، ج ≠ 0 ،

لاحظ أنه في خاصية الكسور المتكافئة ، القيم التي تجعل المقامات صفراً غير مسموح بها على وجه التحديد. نرى ب ≠ 0 ، ج ≠ 0 ب ≠ 0 ، ج ≠ 0 مذكورة بوضوح.

لتبسيط المقادير الكسرية ، نكتب أولًا البسط والمقام في الصورة المحللة إلى عوامل. ثم نقوم بإزالة العوامل المشتركة باستخدام خاصية الكسور المتكافئة.

كن حذرًا جدًا عند إزالة العوامل المشتركة. تتضاعف العوامل لصنع منتج. يمكنك إزالة عامل من المنتج. لا يمكنك إزالة مصطلح من المجموع.

مثال 7.2

كيفية تبسيط التعبير العقلاني

بسّط: x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12 x 2 + 5 x + 6 x 2 + 8 x + 12.

المحلول

بسّط: x 2 - x - 2 x 2-3 x + 2. × 2 - س - 2 × 2-3 × + 2.

بسّط: x 2-3 x - 10 x 2 + x - 2. × 2-3 × - 10 × 2 + × - 2.

نلخص الآن الخطوات التي يجب عليك اتباعها لتبسيط المقادير الكسرية.

كيف

بسّط التعبير المنطقي.

  1. الخطوة 1. حلل البسط والمقام إلى عوامل تمامًا.
  2. الخطوة 2. بسّط عن طريق قسمة العوامل المشتركة.

عادة ، نترك المقدار المنطقي المبسط في صورة تحليل إلى عوامل. بهذه الطريقة ، من السهل التحقق من أننا قد أزلنا الكل العوامل المشتركة.

سنستخدم الطرق التي تعلمناها لتحليل كثيرات الحدود في البسط والمقام في الأمثلة التالية.

في كل مرة نكتب فيها تعبيرًا منطقيًا ، يجب أن نجعل عبارة لا تسمح بالقيم التي تجعل المقام صفرًا. ومع ذلك ، دعونا نركز على العمل قيد البحث ، سنحذف كتابته في الأمثلة.

مثال 7.3

بسّط: 3 أ 2 - 12 أ ب + 12 ب 2 6 أ 2 - 24 ب 2 3 أ 2 - 12 أ ب + 12 ب 2 6 أ 2 - 24 ب 2.

المحلول

بسّط: 2 x 2-12 x y + 18 y 2 3 x 2-27 y 2 2 x 2-12 x y + 18 y 2 3 x 2-27 y 2.

بسّط: 5 x 2 - 30 x y + 25 y 2 2 x 2 - 50 y 2 5 x 2-30 x y + 25 y 2 2 x 2 - 50 y 2.

سنرى الآن كيفية تبسيط تعبير نسبي له عوامل متقابلة في البسط والمقام. قدمنا ​​سابقًا تدوينًا معاكسًا: عكس أ هو - أ - أ و - أ = 1 · أ. - أ = 1 · أ.

الأضداد في تعبير عقلاني

التعبير والقسمة المقابلة له حتى −1. −1.

سنستخدم هذه الخاصية لتبسيط المقادير المنطقية التي تحتوي على أضداد في البسط والمقام. احرص على عدم معاملة أ + ب أ + ب وب + أ ب + أ كأضداد. تذكر أنه بالإضافة إلى ذلك ، لا يهم الترتيب ، لذا فإن أ + ب = ب + أ + ب = ب + أ. إذن إذا أ - ب أ ≠ - ب ، إذن أ + ب ب + أ = 1. أ + ب ب + أ = 1.

مثال 7.4

بسّط: x 2-4 x - 32 64 - x 2. × 2 - 4 × - 32 64 - × 2.

المحلول

بسّط: x 2-4 x - 5 25 - x 2. × ٢ - ٤ × - ٥ ٢٥ - × ٢.

بسّط: x 2 + x - 2 1 - x 2. x 2 + x - 2 1 - x 2.

اضرب التعابير المنطقية

لضرب المقادير الكسرية ، نفعل ما فعلناه مع الكسور العددية. نضرب البسط ونضرب في المقام. بعد ذلك ، إذا كانت هناك أي عوامل مشتركة ، فسنزيلها لتبسيط النتيجة.

ضرب التعبيرات المنطقية

لو ص, ف, ص، و س هي كثيرة الحدود حيث q ≠ 0 ، s ≠ 0 ، q 0 ، s ≠ 0 ، إذن

لضرب التعبيرات الكسرية ، اضرب البسط واضرب المقامات.

تذكر ، خلال هذا الفصل ، سنفترض أنه تم استبعاد جميع القيم الرقمية التي تجعل المقام صفرًا. لن نكتب القيود لكل تعبير منطقي ، لكن ضع في اعتبارك أن المقام لا يمكن أبدًا أن يكون صفرًا. إذن في هذا المثال التالي ، x ≠ 0 و x ≠ 0 و x ≠ 3 و x ≠ 3 و x ≠ 4. س ≠ 4.

مثال 7.5

كيفية ضرب التعابير المنطقية

بسّط: 2 x x 2-7 x + 12 · x 2-9 6 x 2. 2 × 2 - 7 × + 12 × 2-9 6 × 2.

المحلول

بسّط: 5 x x 2 + 5 x + 6 · x 2-4 10 x. 5 × × 2 + 5 × + 6 × 2-4 10 ×.

بسّط: 9 x 2 x 2 + 11 x + 30 · x 2-36 3 x 2. 9 × 2 × 2 + 11 × + 30 × 2-36 × 2.

كيف

اضرب التعابير المنطقية.

  1. الخطوة 1. حلل كل بسط ومقام إلى عوامل تمامًا.
  2. الخطوة 2. اضرب البسط والمقام.
  3. الخطوة 3. بسّط عن طريق قسمة العوامل المشتركة.

مثال 7.6

اضرب: 3 a 2-8 a - 3 a 2-25 · a 2 + 10 a + 25 3 a 2-14 a - 5. 3 أ 2 - 8 أ - 3 أ 2 - 25 • أ 2 + 10 أ + 25 3 أ 2 - 14 أ - 5.

المحلول

بسّط: 2 x 2 + 5 x - 12 x 2-16 · x 2-8 x + 16 2 x 2-13 x + 15. 2 × 2 + 5 × - 12 × 2 - 16 × 2 - 8 × + 16 2 × 2 - 13 × + 15.

بسّط: 4 ب 2 + 7 ب - 2 1 - ب 2 · ب 2 - 2 ب + 1 4 ب 2 + 15 ب - 4. 4 ب 2 + 7 ب - 2 1 - ب 2 · ب 2 - 2 ب + 1 4 ب 2 + 15 ب - 4.

قسّم التعبيرات المنطقية

مثلما فعلنا مع الكسور العددية ، لقسمة المقادير الكسرية ، نضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني.

تقسيم التعبيرات العقلانية

لو ص, ف, ص و س هي كثيرة الحدود حيث q ≠ 0 ، r ≠ 0 ، s ≠ 0 ، q ≠ 0 ، r ≠ 0 ، s ≠ 0 ، ثم

لقسمة التعبيرات المنطقية ، اضرب الكسر الأول في مقلوب الثاني.

بمجرد إعادة كتابة القسمة كضرب للتعبير الأول في مقلوب الثاني ، فإننا نحلل كل شيء ونبحث عن العوامل المشتركة.

مثال 7.7

كيفية تقسيم التعبيرات المنطقية

قسّم: p 3 + q 3 2 p 2 + 2 p q + 2 q 2 ÷ p 2 - q 2 6. ص 3 + س 3 2 ف 2 + 2 ف س + 2 س 2 ف 2 - ف 2 6.

المحلول

بسّط: x 3-8 3 x 2-6 x + 12 ÷ x 2-4 6. × ٣ - ٨ ٣ × ٢ - ٦ × + ١٢ × ٢ - ٤ ٦.

بسّط: 2 z 2 z 2-1 ÷ z 3 - z 2 + z z 3 + 1. 2 z 2 z 2-1 ÷ z 3 - z 2 + z z 3 + 1.

كيف

قسّم التعبيرات المنطقية.

  1. الخطوة 1. أعد كتابة القسمة على أنها حاصل ضرب التعبير الكسري الأول ومقلوب الثاني.
  2. الخطوة 2. حلل البسط والمقام إلى عوامل تمامًا.
  3. الخطوة 3. اضرب البسط والمقام معًا.
  4. الخطوة 4. بسّط عن طريق قسمة العوامل المشتركة.

تذكر من استخدام لغة الجبر أن الكسر المعقد هو كسر يحتوي على كسر في البسط أو المقام أو كليهما. تذكر أيضًا أن شريط الكسر يعني القسمة. الكسر المركب هو طريقة أخرى لكتابة قسمة كسرين.

مثال 7.8

قسّم: 6 x 2-7 x + 2 4 x - 8 2 x 2-7 x + 3 x 2-5 x + 6. ٦ × ٢ - ٧ × + ٢ ٤ × - ٨ ٢ × ٢ - ٧ × + ٣ × ٢ - ٥ × + ٦.

المحلول

بسّط: 3 x 2 + 7 x + 2 4 x + 24 3 x 2-14 x - 5 x 2 + x - 30. 3 × 2 + 7 × + 2 4 × + 24 3 × 2 - 14 × - 5 × 2 + × - 30.

بسّط: y 2 - 36 2 y 2 + 11 y - 6 2 y 2 - 2 y - 60 8 y - 4. ص 2-36 2 ص 2 + 11 ص - 6 2 ص 2-2 ص - 60 8 ص - 4.

إذا كان لدينا أكثر من تعبيرين منطقيين للعمل بهما ، فلا نزال نتبع نفس الإجراء. ستكون الخطوة الأولى هي إعادة كتابة أي قسمة كضرب بالمقلوب. ثم نقوم بالتحليل والضرب.

مثال 7.9

نفذ العمليات المشار إليها: 3 x - 6 4 x - 4 · x 2 + 2 x - 3 x 2-3 x - 10 ÷ 2 x + 12 8 x + 16. 3 × - 6 4 × - 4 × 2 + 2 × - 3 × 2-3 × - 10 × 2 × + 12 8 × + 16.

المحلول

أعد كتابة القسمة كضرب
بالمثل.
حلل البسط والمقام إلى عوامل.
اضرب الكسور. إحضار الثوابت إلى
سوف تساعد الجبهة عند إزالة العوامل المشتركة.
بسّط بقسمة العوامل المشتركة.
تبسيط.

نفذ العمليات المحددة: 4 م + 4 3 م - 15 م 2 - 3 م - 10 م 2 - 4 م - 32 12 م - 36 6 م - 48. 4 م + 4 3 م - 15 م 2-3 م - 10 م 2-4 م - 32 12 م - 36 6 م - 48.

نفذ العمليات المشار إليها: 2 n 2 + 10 n n - 1 n 2 + 10 n + 24 n 2 + 8 n - 9 · n + 4 8 n 2 + 12 n. 2 n 2 + 10 n n - 1 n 2 + 10 n + 24 n 2 + 8 n - 9 · n + 4 8 n 2 + 12 n.

اضرب وقسم الدوال المنطقية

وظيفة عقلانية

الدالة الكسرية هي دالة في الصورة

مجال الدالة الكسرية هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء تلك القيم التي قد تسبب القسمة على صفر. يجب أن نحذف أي قيم تجعل q (x) = 0. ف (س) = 0.

كيف

حدد مجال دالة كسرية.

  1. الخطوة 1. ساوي المقام بالصفر.
  2. الخطوة 2. حل المعادلة.
  3. الخطوة 3. المجال هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء القيم الموجودة في الخطوة 2.

مثال 7.10

أوجد مجال R (x) = 2 x 2 - 14 x 4 x 2-16 x - 48. ص (س) = 2 × 2-14 × 4 × 2-16 × - 48.

المحلول

سيكون المجال عبارة عن جميع الأرقام الحقيقية باستثناء تلك القيم التي تجعل المقام صفرًا. سنجعل المقام يساوي صفرًا ، ونحل هذه المعادلة ، ثم نستبعد تلك القيم من المجال.

أوجد مجال R (x) = 2 x 2-10 x 4 x 2-16 x - 20. ص (س) = 2 × 2-10 × 4 × 2-16 × - 20.

أوجد مجال R (x) = 4 x 2 - 16 x 8 x 2-16 x - 64. R (x) = 4 x 2-16 x 8 x 2-16 x - 64.

لضرب الدوال الكسرية ، نضرب التعابير المنطقية الناتجة على الجانب الأيمن من المعادلة باستخدام نفس الأساليب التي استخدمناها لضرب التعابير المنطقية.

مثال 7.11

المحلول

لتقسيم الوظائف المنطقية ، نقسم التعبيرات المنطقية الناتجة على الجانب الأيمن من المعادلة باستخدام نفس الأساليب التي استخدمناها لتقسيم التعبيرات المنطقية.

مثال 7.12

المحلول

تمارين القسم 7.1

مع التدريب يأتي الإتقان

حدد القيم التي يكون التعبير العقلاني غير معرّف لها

في التدريبات التالية ، حدد القيم التي لم يتم تعريف التعبير المنطقي لها.

تبسيط التعبيرات المنطقية

في التمارين التالية ، بسّط كل تعبير منطقي.

ص 3 + 3 ص 2 + 4 ص + 12 ص 2 + ص - 6 ص 3 + 3 ص 2 + 4 ص + 12 ص 2 + ف - 6

× 3 - 2 × 2 - 25 × + 50 × 2 - 25 × 3 - 2 × 2 - 25 × + 50 × 2 - 25

8 ب 2 - 32 ب 2 ب 2 - 6 ب - 80 8 ب 2 - 32 ب 2 ب 2 - 6 ب - 80

−5 ص 2 - 10 ص 10 ص 2 + 30 ص + 100 5 ص 2 - 10 ص −10 ص 2 + 30 ص + 100

3 م 2 + 30 م ن + 75 ن 2 4 م 2 - 100 ن 2 3 م 2 + 30 م ن + 75 ن 2 4 م 2 - 100 ن 2

5 r 2 + 30 r s - 35 s 2 r 2-49 s 2 5 r 2 + 30 r s - 35 s 2 r 2-49 s 2

اضرب التعابير المنطقية

اضرب التعابير المنطقية في التمارين التالية.

5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2 5 x 2 y 4 12 x y 3 · 6 x 2 20 y 2

12 أ 3 ب ب 2 · 2 أ ب 2 9 ب 3 12 أ 3 ب ب 2 · 2 أ ب 2 9 ب 3

5 ص 2 ص 2-5 ص - 36 · ص 2-16 10 ص 5 ص 2 ص 2-5 ص - 36 · ص 2-16 10 ص

3 q 2 q 2 + q - 6 · q 2-9 9 q 3 q 2 q 2 + q - 6 · q 2-9 9 q

2 y 2-10 y y 2 + 10 y + 25 · y + 5 6 y 2 y 2-10 y 2 + 10 y + 25 · y + 5 6 y

z 2 + 3 z z 2 - 3 z - 4 · z - 4 z 2 z 2 + 3 z z 2 - 3 z - 4 · z - 4 z 2

28-4 ب 3 ب - 3 ب 2 + 8 ب - 9 ب 2-49 28-4 ب 3 ب - 3 ب 2 + 8 ب - 9 ب 2-49

72 م - 12 م 2 8 م + 32 م 2 + 10 م + 24 م 2-36 72 م - 12 م 2 8 م + 32 م 2 + 10 م + 24 م 2-36

3 ص 2 - 16 ج + 5 ص 2 - 25 ص 2 + 10 ج + 25 3 ص 2 - 14 ج - 5 3 ص 2 - 16 ج + 5 ص 2 - 25 ص 2 + 10 ج + 25 3 ج 2-14 ج - 5

2 d 2 + d - 3 d 2-16 · d 2-8 d + 16 2 d 2-9 d - 18 2 d 2 + d - 3 d 2-16 · d 2-8 d + 16 2 d 2 - 9 د - 18

6 م 2-13 م + 2 9 - م 2 · م 2-6 م + 9 6 م 2 + 23 م - 4 6 م 2-13 م + 2 9 - م 2 · م 2-6 م + 9 6 م 2 + 23 م - 4

2 ن 2-3 ن - 14 25 - ن 2 · ن 2-10 ن + 25 2 ن 2-13 ن + 21 2 ن 2 - 3 ن - 14 25 - ن 2 · ن 2-10 ن + 25 2 ن 2-13 ن + 21

قسّم التعبيرات المنطقية

قسّم التعبيرات المنطقية في التمارين التالية.

الخامس - 5 11 - v ÷ v 2-25 v - 11 v - 5 11 - v ÷ v 2-25 v - 11

10 + ث - 8 ÷ 100 - عرض 2 8 - عرض 10 + ث - 8 100 - عرض 2 8 - ث

3 ثوانٍ 2 ثانية 16 ثانية 3 + 4 ثانية 2 + 16 ثانية 3 - 64 3 ثانية 2 ثانية 16-2 ثانية 3 + 4 ثانية 2 + 16 ثانية 3 - 64 ثانية

r 2 − 9 15 ÷ r 3 − 27 5 r 2 + 15 r + 45 r 2 − 9 15 ÷ r 3 − 27 5 r 2 + 15 r + 45

p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 − q 2 12 p 3 + q 3 3 p 2 + 3 p q + 3 q 2 ÷ p 2 − q 2 12

v 3 − 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2 − 4 w 2 4 v 3 − 8 w 3 2 v 2 + 4 v w + 8 w 2 ÷ v 2 − 4 w 2 4

x 2 + 3 x − 10 4 x ÷ ( 2 x 2 + 20 x + 50 ) x 2 + 3 x − 10 4 x ÷ ( 2 x 2 + 20 x + 50 )

2 y 2 − 10 y z − 48 z 2 2 y − 1 ÷ ( 4 y 2 − 32 y z ) 2 y 2 − 10 y z − 48 z 2 2 y − 1 ÷ ( 4 y 2 − 32 y z )

2 a 2 − a − 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16 2 a 2 − a − 21 5 a + 20 a 2 + 7 a + 12 a 2 + 8 a + 16

3 b 2 + 2 b − 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b − 8 2 b 2 − 7 b − 15 3 b 2 + 2 b − 8 12 b + 18 3 b 2 + 2 b − 8 2 b 2 − 7 b − 15

12 c 2 − 12 2 c 2 − 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 − 13 c + 5 12 c 2 − 12 2 c 2 − 3 c + 1 4 c + 4 6 c 2 − 13 c + 5

4 d 2 + 7 d − 2 35 d + 10 d 2 − 4 7 d 2 − 12 d − 4 4 d 2 + 7 d − 2 35 d + 10 d 2 − 4 7 d 2 − 12 d − 4

For the following exercises, perform the indicated operations.

10 m 2 + 80 m 3 m − 9 · m 2 + 4 m − 21 m 2 − 9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m − 10 10 m 2 + 80 m 3 m − 9 · m 2 + 4 m − 21 m 2 − 9 m + 20 ÷ 5 m 2 + 10 m 2 m − 10

4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 − n − 2 n 2 + n − 30 ÷ 108 n 2 − 24 n n + 6 4 n 2 + 32 n 3 n + 2 · 3 n 2 − n − 2 n 2 + n − 30 ÷ 108 n 2 − 24 n n + 6

12 p 2 + 3 p p + 3 ÷ p 2 + 2 p − 63 p 2 − p − 12 · p − 7 9 p 3 − 9 p 2 12 p 2 + 3 p p + 3 ÷ p 2 + 2 p − 63 p 2 − p − 12 · p − 7 9 p 3 − 9 p 2

6 q + 3 9 q 2 − 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q − 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6 6 q + 3 9 q 2 − 9 q ÷ q 2 + 14 q + 33 q 2 + 4 q − 5 · 4 q 2 + 12 q 12 q + 6

Multiply and Divide Rational Functions

In the following exercises, find the domain of each function.

R ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25 R ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 25 x + 50 x 2 − 25

R ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 x 2 − 4 R ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 x 2 − 4

R ( x ) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x − 36 R ( x ) = 3 x 2 + 15 x 6 x 2 + 6 x − 36

R ( x ) = 8 x 2 − 32 x 2 x 2 − 6 x − 80 R ( x ) = 8 x 2 − 32 x 2 x 2 − 6 x − 80

For the following exercises, find R ( x ) = f ( x ) · g ( x ) R ( x ) = f ( x ) · g ( x ) where f ( x ) f ( x ) and g ( x ) g ( x ) are given.

For the following exercises, find R ( x ) = f ( x ) g ( x ) R ( x ) = f ( x ) g ( x ) where f ( x ) f ( x ) and g ( x ) g ( x ) are given.

Writing Exercises

Explain how you find the values of x for which the rational expression x 2 − x − 20 x 2 − 4 x 2 − x − 20 x 2 − 4 is undefined.

Explain all the steps you take to simplify the rational expression p 2 + 4 p − 21 9 − p 2 . p 2 + 4 p − 21 9 − p 2 .

Self Check

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

ⓑ If most of your checks were:

…confidently. تهانينا! You have achieved your goals in this section! Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific!

…with some help. This must be addressed quickly as topics you do not master become potholes in your road to success. Math is sequential - every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Whom can you ask for help?Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?

…no - I don’t get it! This is critical and you must not ignore it. You need to get help immediately or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as possible to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • Authors: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • Book title: Intermediate Algebra 2e
    • Publication date: May 6, 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • Book URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/7-1-multiply-and-divide-rational-expressions

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    Chapter 7 - Section 7.2 - Multiplying and Dividing Rational Expressions - Exercise Set - Page 499: 19

    Step by step multiplication of rational expressions: 1. Factor completely what you can 2. Reduce (divide) numerators and denominators by common factors. 3. Multiply the remaining factors in the numerators and multiply the remaining factors in the denominators. $(displaystyle frac

    cdotfrac=frac)$ --- Factor what we can: . factor $x^<2>+bx+c $ by searching for two factors of $c$ whose sum is $b$. $x^<2>-5x+6=(x-3)(x-2)$ $x^<2>-2x-3=(x-3)(x+1)$ . recognize differences of squares: $x^<2>-1=(x-1)(x+1)$ $x^<2>-4=(x-2)(x+2)$ The problem becomes $. =displaystyle frac<(x-3)(x-2)cdot(x-1)(x+1)><(x-3)(x+1)cdot(x-2)(x+2)>qquad $. divide out the common factors $=displaystyle fracfbox<$(x-2)$>cdot(x-1)fbox<$(x+1)$>>fbox<$(x+1)$>cdotfbox<$(x-2)$>(x+2)> $ = $displaystyle frac$

    Update this answer!

    You can help us out by revising, improving and updating this answer.

    After you claim an answer you&rsquoll have 24 ساعة to send in a draft. An editor will review the submission and either publish your submission or provide feedback.


    There are two ways to go about multiplying fractions:

    We can multiply the numerators and the denominators and then simplify the product:

    Or we can factor and simplify the fractions before performing the multiplication:

    The same two approaches can be applied to rational expressions. In the following examples, we'll try both techniques: multiply, then simplify and simplify, then multiply. An important difference between fractions and rational expressions, though, is that we must identify any values for the variables that would result in division by `0` since this is undefined. هؤلاء excluded values A value for a variable that is not allowed in an expression, such as a variable in a rational expression that would make the denominator equal zero. must be eliminated from the domain The set of all possible inputs of a function which allow the function to work. , the set of all possible values of the variable.


    Multiplication

    To Multiply a rational expression:

    1. Factor all numerators and denominators.

    2. Cancel all common factors.

    3. Either multiply the denominators and numerators together or leave the solution in factored form.

    Multiply and then simplify the product

    Multiply the following rational expressions:

    1: Factor all numerators and denominators:

    2: Cancel all common factors:

    3: Multiply the denominators and numerators:

    Division of rational expressions

    When we divide rational functions we multiply by the reciprocal.

    Perform the indicated operations:

    Perform the indicated operations:


    University of Transnational Business Law

    This is “Multiplying and Dividing Rational Expressions”, section 7.2 from the book Beginning Algebra (v. 1.0). For details on it (including licensing), click here.

    For more information on the source of this book, or why it is available for free, please see the project's home page. You can browse or download additional books there.

    Has this book helped you? Consider passing it on:

    Creative Commons supports free culture from music to education. Their licenses helped make this book available to you.

    DonorsChoose.org helps people like you help teachers fund their classroom projects, from art supplies to books to calculators.

    7.2 Multiplying and Dividing Rational Expressions

    أهداف التعلم
    1.Multiply rational expressions.
    2.Divide rational expressions.
    3.Multiply and divide rational functions.

    Multiplying Rational Expressions

    When multiplying fractions, we can multiply the numerators and denominators together and then reduce, as illustrated:

    Multiplying rational expressions is performed in a similar manner. فمثلا،

    In general, given polynomials P, Q, R, and S, where Q≠0 and S≠0, we have

    In this section, assume that all variable expressions in the denominator are nonzero unless otherwise stated.

    Example 1: Multiply: 12x25y3⋅20y46x3.

    Solution: Multiply numerators and denominators and then cancel common factors.

    Example 2: Multiply: x−3x+5⋅x+5x+7.

    Solution: Leave the product in factored form and cancel the common factors.

    Example 3: Multiply: 15x2y3(2x−1)⋅x(2x−1)3x2y(x+3).

    Solution: Leave the polynomials in the numerator and denominator factored so that we can cancel the factors. In other words, do not apply the distributive property.

    Typically, rational expressions will not be given in factored form. In this case, first factor all numerators and denominators completely. Next, multiply and cancel any common factors, if there are any.

    Example 4: Multiply: x+5x−5⋅x−5x2−25.

    Solution: Factor the denominator x2−25 as a difference of squares. Then multiply and cancel.

    Keep in mind that 1 is always a factor so when the entire numerator cancels out, make sure to write the factor 1.

    Example 5: Multiply: x2+3x+2x2−5x+6⋅x2−7x+12x2+8x+7.

    It is a best practice to leave the final answer in factored form.

    Example 6: Multiply: −2x2+x+3x2+2x−8⋅3x−6x2+x.

    Solution: The trinomial −2x2+x+3 in the numerator has a negative leading coefficient. Recall that it is a best practice to first factor out a −1 and then factor the resulting trinomial.

    Example 7: Multiply: 7−xx2+3x⋅x2+10x+21x2−49.

    Solution: We replace 7−x with −1(x−7) so that we can cancel this factor.

    جرب هذا! Multiply: x2−648−x⋅x+x2x2+9x+8.

    Video Solution
    (click to see video)

    Dividing Rational Expressions

    To divide two fractions, we multiply by the reciprocal of the divisor, as illustrated:

    Dividing rational expressions is performed in a similar manner. فمثلا،

    In general, given polynomials P, Q, R, and S, where Q≠0, R≠0, and S≠0, we have

    Example 8: Divide: 8x5y25z6悐xy415z3.

    Solution: First, multiply by the reciprocal of the divisor and then cancel.

    Example 9: Divide: x+2x2−4÷x+3x−2.

    Solution: After multiplying by the reciprocal of the divisor, factor and cancel.

    Example 10: Divide: x2−6x−16x2+4x−21÷x2+9x+14x2−8x+15.

    Solution: Begin by multiplying by the reciprocal of the divisor. After doing so, factor and cancel.

    Example 11: Divide: 9−4x2x+2 ÷(2x−3).

    Solution: Just as we do with fractions, think of the divisor (2x−3) as an algebraic fraction over 1.

    جرب هذا! Divide: 4x2+7x−225x2ধ−4x100x4.

    Video Solution
    (click to see video)

    Multiplying and Dividing Rational Functions

    The product and quotient of two rational functions can be simplified using the techniques described in this section. The restrictions to the domain of a product consist of the restrictions of each function.

    Example 12: Calculate (f⋅g)(x) and determine the restrictions to the domain.

    Solution: In this case, the domain of f(x) consists of all real numbers except 0, and the domain of g(x) consists of all real numbers except 1/4. Therefore, the domain of the product consists of all real numbers except 0 and 1/4. Multiply the functions and then simplify the result.

    Answer: (f⋅g)(x)=−4x+15x, where x≠0, 14

    The restrictions to the domain of a quotient will consist of the restrictions of each function as well as the restrictions on the reciprocal of the divisor.

    Example 13: Calculate (f/g)(x) and determine the restrictions.

    In this case, the domain of f(x) consists of all real numbers except 3 and 8, and the domain of g(x) consists all real numbers except 3. In addition, the reciprocal of g(x) has a restriction of −8. Therefore, the domain of this quotient consists of all real numbers except 3, 8, and −8.

    الماخذ الرئيسية
    •After multiplying rational expressions, factor both the numerator and denominator and then cancel common factors. Make note of the restrictions to the domain. The values that give a value of 0 in the denominator are the restrictions.
    •To divide rational expressions, multiply by the reciprocal of the divisor.
    •The restrictions to the domain of a product consist of the restrictions to the domain of each factor.
    •The restrictions to the domain of a quotient consist of the restrictions to the domain of each rational expression as well as the restrictions on the reciprocal of the divisor.


    7.2: Multiplying and Dividing Rational Expressions

    Multiplying and Dividing Rational Expressions

    · Multiply rational expressions and simplify.

    · Divide rational expressions and simplify.

    Just as you can multiply and divide fractions, you can multiply and divide rational expressions. In fact, you use the same processes for multiplying and dividing rational expressions as you use for multiplying and dividing numeric fractions. The process is the same even though the expressions look different!

    Multiplication of Rational Expressions

    Remember that there are two ways to multiply numeric fractions.

    One way is to multiply the numerators and the denominators and then simplify the product, as shown here.

    A second way is to factor and simplify the fractions قبل performing the multiplication.

    Notice that both methods result in the same product. In some cases you may find it easier to multiply and then simplify, while in others it may make more sense to simplify fractions before multiplying.

    The same two approaches can be applied to rational expressions. In the following examples, both techniques are shown. First, let’s multiply and then simplify.

    Multiply. State the product in simplest form.

    Multiply the numerators, and then multiply the denominators.

    Simplify by finding common factors in the numerator and denominator.

    Use the common factors to rewrite as multiplication by 1.

    Okay, that worked. But this time let’s simplify first, then multiply. When using this method, it helps to look for the العامل المشترك الاكبر. You can factor out أي common factors, but finding the greatest one will take fewer steps.

    Multiply. State the product in simplest form.

    Factor the numerators and denominators. Look for the greatest common factors.

    Regroup the fractions to express common factors as multiplication by 1, and then multiply.

    Both methods produced the same answer.

    Also, remember that when working with rational expressions, you should get into the habit of identifying any values for the variables that would result in division by 0. These excluded values must be eliminated from the نطاق, the set of all possible values of the variable. في المثال أعلاه ، , the domain is all real numbers where أ is not equal to 0. When أ = 0, the denominator of the fraction equals 0, which will make the fraction undefined.

    Some rational expressions contain quadratic expressions and other multi-term polynomials. To multiply these rational expressions, the best approach is to first factor the polynomials and then look for common factors. (Multiplying the terms before factoring will often create complicated polynomials…and then you will have to factor these polynomials anyway! For this reason, it is easier to factor, simplify, and then multiply.) Just take it step by step, like in the examples below.

    Multiply. State the product in simplest form.

    Factor the numerators and denominators.

    Regroup to express rational expressions equivalent to 1.

    Multiply simplified rational expressions. This expression can be left with the numerator in factored form or multiplied out.

    Multiply. State the product in simplest form.

    Factor the numerators and denominators.

    Regroup to express rational expressions equivalent to 1.

    Multiply simplified rational expressions. This expression can be left with the denominator in factored form or multiplied out.

    Note that in the answer above, you cannot simplify the rational expression any further. It may be tempting to express the 5’s in the numerator and denominator as the fraction , but these 5’s are terms because they are being added or subtracted. Remember that only common factors, not terms, can be regrouped to form factors of 1!

    Multiply, and express the product as a simplified rational expression.

    , ذ ≠ −8, −2, 0, 2,

    أ)

    ب)

    ج)

    D)

    أ)

    غير صحيح. You simplify by factoring the numerators and denominators. The fraction يمكن كتابتها كـ , and the fraction يمكن كتابتها كـ . The correct answer is .

    ب)

    غير صحيح. This expression is equivalent, but it can be further simplified since there is a common factor of ذ in the numerator and denominator. The correct answer is .

    ج)

    غير صحيح. This expression is equivalent, but it can be further simplified since there are common factors in the numerator and denominator: . The correct answer is .

    D)

    Correct. Factoring the numerators and denominators, you get . Regrouping, you get = .

    Dividing Rational Expressions

    You've seen that you multiply rational expressions as you multiply numeric fractions. It should come as no surprise that you also divide rational expressions the same way you divide numeric fractions. Specifically, to divide rational expressions, keep the first rational expression, change the division sign to multiplication, and then take the reciprocal of the second rational expression.

    Let’s begin by recalling division of numerical fractions.

    Use the same process to divide rational expressions. You can think of division as multiplication by the reciprocal, and then use what you know about multiplication to simplify.

    You do still need to think about the domain, specifically the variable values that would make either denominator equal zero. But there's a new consideration this time—because you divide by multiplying by the reciprocal of one of the rational expressions, you also need to find the values that would make the numerator of that expression equal zero. الق نظرة.


    8.2 Multiplication and Division of Rational Expressions

    Multiplying and dividing rational expressions is very similar to the process used to multiply and divide fractions.

    Reduce and multiply و .

    (15 and 45 reduce to 1 and 3, and 14 and 49 reduce to 2 and 7)

    This process of multiplication is identical to division, except the first step is to reciprocate any fraction that is being divided.

    Reduce and divide بواسطة .

    (25 and 15 reduce to 5 and 3, and 6 and 18 reduce to 1 and 3)

    When multiplying with rational expressions, follow the same process: first, divide out common factors, then multiply straight across.

    Reduce and multiply و .

    (25 and 55 reduce to 5 and 11, 24 and 9 reduce to 8 and 3, x 2 and x 7 reduce to x 5 , y 4 and y 8 reduce to y 4 )

    Remember: when dividing fractions, reciprocate the dividing fraction.

    Reduce and divide بواسطة .

    (After reciprocating, 4a 4 b 2 and b 4 reduce to 4a 3 and b 2 )

    In dividing or multiplying some fractions, the polynomials in the fractions must be factored first.

    Reduce, factor and multiply و .

    Dividing or cancelling out the common factors و leaves us with , which results in .


    SECTION 6 2 MULTIPLYING AND DIVIDING RATIONAL EXPRESSIONS

    I) REVIEW: MULTIPLYING & DIVIDING FRACTIONS Cancel Out any common factors in the Numerator & Denominator The division sign becomes a multiplication sign. Take the reciprocal of the 2 nd fraction

    II) MULTIPLYING & DIVIDING R. E. Ex: Simplify each of the following Rational Expressions Cancel out any common factors When dividing a fraction, flip it and then multiply

    PRACTICE: SIMPLIFY Cancel out any common factors

    III) FACTORING RATIONAL EXPRESSIONS When multiplying Rational Expressions with trinomials Factor every trinomial or difference of squares Cancel out any common binomial in both the numerator & denominator Look for NPV’s from every bracket in the denominator Ex: Simplify & State the NPV Factor each trinomial Cancel out any common binomial Look for NPV’s (Denominator) © Copyright all rights reserved to Homework depot: www. BCMath. كاليفورنيا

    PRACTICE: SIMPLIFY & FIND ALLNPV’S Look for NPV’s (Denominator) © Copyright all rights reserved to Homework depot: www. BCMath. كاليفورنيا


    شاهد الفيديو: العمليات المنطقية (ديسمبر 2021).