مقالات

11.5: E- ديناميات معادلات هاملتون


في هذا الملحق نقدم مقدمة موجزة عن بعض الخصائص والنتائج المرتبطة بالمعادلات التفاضلية هاملتون (أو ، معادلات هاملتون أو حقول متجه هاملتون). .

هدفنا هنا ليس اشتقاق معادلات هاملتون من معادلات نيوتن. يمكن العثور على مناقشات حول ذلك في العديد من الكتب المدرسية حول الميكانيكا (على الرغم من أنها غالبًا ما تعتبر "ميكانيكا متقدمة"). على سبيل المثال ، يمكن العثور على عرض كلاسيكي لهذا الموضوع في كتاب لانداو الكلاسيكي ، ويمكن العثور على المزيد من العروض الحديثة في أبراهام ومارسدن وأرنولد. بدلاً من ذلك ، يتمثل نهجنا في البدء بمعادلات هاملتون وفهم بعض الجوانب والنتائج البسيطة للبنية الخاصة المرتبطة بمعادلات هاملتون. لتحقيق هذه الغاية ، ستكون نقطة البداية معادلات هاملتون. تمشيا مع النهج البسيط خلال هذه المحاضرات ، ستكون مناقشتنا لمعادلات هاملتون للأنظمة ثنائية الأبعاد.

نبدأ بدالة ذات قيمة رقمية محددة في ( mathbb {R} ^ 2 )

[H = H (q، p)، (q، p) in mathbb {R} ^ 2. التسمية {E.1} ]

يشار إلى هذه الوظيفة باسم هاميلتوني. من هاميلتونيان ، تأخذ معادلات هاملتون الشكل التالي:

( نقطة {q} = فارك { جزئية H} { جزئي ص} (ف ، ف) ) ،

[ dot {p} = frac { جزئي H} { جزئي q} (q، p)، (q، p) in mathbb {R} ^ 2. التسمية {E.2} ]

يشير شكل معادلات هاملتون إلى أن هاميلتوني ثابت في المسارات. يمكن ملاحظة ذلك من الحساب التالي:

( frac {dH} {dt} = frac { جزئي H} { جزئي q} نقطة {q} + frac { جزئي H} { جزئي p} نقطة {p} )

[= frac { جزئي H} { جزئي q} frac { جزئي H} { جزئي p} - frac { جزئي H} { جزئي p} frac { جزئي H} { جزئي q} = 0. label {E.3} ]

علاوة على ذلك ، يشير هذا الحساب إلى أن مجموعات مستوى هاملتونيان هي مشعبات ثابتة. نشير إلى مجموعة مستوى هاميلتونيان على النحو التالي:

[H_ {E} = {(q، p) in mathbb {R} ^ 2 | H (q، p) = E } label {E.4} ]

بشكل عام ، مجموعة المستوى عبارة عن منحنى (أو ربما نقطة توازن). ومن ثم ، في الحالة ثنائية الأبعاد ، يتم إعطاء مسارات معادلات هاملتون من خلال مجموعات المستوى لهاملتونيان.

ال Jacobian of the Hamiltonian vector field (E.2) ، المشار إليها بـ J ، تُعطى بواسطة:

[J (p، q) = begin {pmatrix} { frac { جزئي ^ {2} H} { جزئي q جزئي p}} & { frac { جزئي ^ {2} H} { جزء p ^ 2}} {- frac { جزئي ^ {2} H} { جزئي q ^ 2}} & {- frac { جزئي ^ {2} H} { جزئي p جزئي q }} end {pmatrix} ، label {E.5} ]

عند نقطة عشوائية ((q، p) in mathbb {R} ^ 2 ). لاحظ أن تتبع J (q ، p) ، المشار إليه trJ (q ، p) ، هو صفر. هذا يعني أن قيم eigenvalues ​​لـ J (q ، p) ، المشار إليها بواسطة ( lambda_ {1 ، 2} ) ، يتم تقديمها بواسطة:

[ lambda_ {1، 2} = pm sqrt {-det J (q، p)}، label {E.6} ]

حيث يشير detJ (q ، p) إلى محدد J (q ، p). لذلك ، إذا كانت ((q_ {0}، p_ {0}) ) نقطة توازن لـ (E.1) و (detJ (q_ {0}، p_ {0}) = 0 ) ، فإن نقطة التوازن هي مركز لـ (detJ (q_ {0}، p_ {0})> 0 ) وسرج لـ (detJ (q_ {0}، p_ {0}) <0 ).

بعد ذلك ، نصف بعض الأمثلة لحقول متجهية هاملتونية ثنائية الأبعاد ومستقلة ذاتيًا.

مثال ( PageIndex {41} ) (سرج هاميلتوني)

نحن نعتبر هاميلتوني:

[H (q، p) = frac { lambda} {2} (p ^ {2} -q ^ {2}) = frac { lambda} {2} (pq) (p + q)، (q، p) in mathbb {R} ^ 2، label {E.7} ]

مع ( لامدا> 0 ). من هذا الهاميلتوني ، نشتق معادلات هاملتون:

( نقطة {q} = فارك { جزئية H} { جزئي ف} (ف ، ف) = لامدا ف ) ،

[ نقطة {p} = frac { جزئي H} { جزئي p} (q، p) = lambda q، label {E.8} ]

أو في شكل مصفوفة:

[ start {pmatrix} { dot {q}} { dot {p}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {0} & { lambda} { lambda} & { 0} end {pmatrix} begin {pmatrix} {q} {p} end {pmatrix}. التسمية {E.9} ]

الأصل هو نقطة ثابتة ، والقيم الذاتية المرتبطة بالخطية تعطى بواسطة ( pm lambda ). ومن ثم ، فإن الأصل هو نقطة سرج ، وقيمة هاميلتوني في الأصل هي صفر. نرى أيضًا من (E.7) أن Hamiltonian هو صفر على السطور (p - q = 0 ) و p + q = 0. هذه هي المشعبات غير المستقرة والمستقرة للأصل ، على التوالي. يتم توضيح صورة المرحلة في الشكل E.1.

يتم إعطاء التدفق الناتج عن حقل المتجه هذا في الفصل 2 ، مجموعة المشكلات 2 ، المشكلة 6.

مثال ( PageIndex {42} ) (مركز هاميلتونيان)

نحن نعتبر هاميلتوني:

[H (q، p) = frac { omega} {2} (p ^ {2} + q ^ {2})، (q، p) in mathbb {R} ^ 2، label { هـ. 10} ]

مع ( أوميغا> 0 ). من هذا الهاميلتوني ، نشتق معادلات هاملتون:

( dot {q} = frac { جزئي H} { جزئي p} (q، p) = omega p )،

[ dot {p} = frac { جزئي H} { جزئي p} (q، p) = - omega q، label {E.11} ]

أو في شكل مصفوفة:

[ begin {pmatrix} { dot {q}} { dot {p}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {0} & { omega} {- omega} & {0} end {pmatrix} begin {pmatrix} {q} {p} end {pmatrix}. التسمية {E.12} ]

مجموعات المستويات في هاملتونيان هي دوائر ، وهي موضحة في الشكل E.2.

يتم إعطاء التدفق الناتج عن حقل المتجه هذا في الفصل 2 ، مجموعة المشكلات 2 ، المشكلة 5.

سننظر الآن في مثالين على تشعب التوازن في أنظمة هاملتونية ثنائية الأبعاد. التشعب المرتبط بقيمة صفرية واحدة (كما درسنا في الفصل 8) غير ممكن لأنه ، بعد (E.6) ، إذا كانت هناك قيمة ذاتية صفرية ، يجب أن تكون القيمة الذاتية الأخرى صفرًا أيضًا. سننظر في أمثلة من عقدة سرج هاميلتوني وتشعبات مذراة هاميلتونيان. يمكن أيضًا العثور على مناقشات إصدارات هاميلتونية من هذه التشعبات في Golubitsky et al.

مثال ( PageIndex {43} ) (تشعب عقدة سرج هاميلتوني)

نحن نعتبر هاميلتوني:

[H (q، p) = frac {p ^ 2} {2} - lambda q + frac {q ^ {3}} {3})، (q، p) in mathbb {R} ^ 2 ، التسمية {E.13} ]

حيث يعتبر ( lambda ) معلمة يمكن تغييرها. من هذا الهاميلتوني ، نشتق معادلات هاملتون:

( نقطة {q} = فارك { جزئية H} { جزئي ف} (ف ، ف) = ف ) ،

[ dot {p} = - frac { جزئي H} { جزئي p} (q، p) = lambda - q ^ 2، label {E.14} ]

النقاط الثابتة لـ (E.14) هي:

[(q، p) = ( pm sqrt { lambda}، 0)، label {E.15} ]

يترتب على ذلك عدم وجود نقاط ثابتة لـ ( lambda <0 ) ، ونقطة واحدة ثابتة لـ ( lambda = 0 ) ، ونقطتان ثابتتان لـ ( lambda> 0 ). هذا هو سيناريو تشعب عقدة السرج.

بعد ذلك نقوم بفحص استقرار النقاط الثابتة. يعقوبي (هـ 14) معطى من قبل:

[ begin {pmatrix} {0} & {1} {-2q} & {0} end {pmatrix}. التسمية {E.16} ]

القيم الذاتية لهذه المصفوفة هي:

( lambda_ {1، 2} = pm sqrt {-2q} ).

ومن ثم فإن ((q، p) = (- sqrt { lambda}، 0) ) سرج ، ((q، p) = ( sqrt { lambda}، 0) ) هو مركز ، و (ف ، ع) = (0 ، 0) له قيمتان من صفرية ذاتية. تظهر صور الطور في الشكل E.3.

مثال ( PageIndex {44} ) (تشعب مذراة هاميلتوني)

نحن نعتبر هاميلتوني:

[H (q، p) = frac {p ^ 2} {2} - lambda frac {q ^ 2} {2} + frac {q ^ {4}} {4})، (q، p) in mathbb {R} ^ 2، label {E.17} ]

حيث يعتبر ( lambda ) معلمة يمكن تغييرها. من هذا الهاميلتوني ، نشتق معادلات هاملتون:

( نقطة {q} = فارك { جزئية H} { جزئي ف} (ف ، ف) = ف ) ،

[ dot {p} = - frac { جزئي H} { جزئي p} (q، p) = lambda q - q ^ 3، label {E.18} ]

النقاط الثابتة لـ (E.18) هي:

[(q، p) = (0، 0)، ( pm p lambda، 0)، label {E.19} ]

ويترتب على ذلك وجود نقطة ثابتة واحدة لـ ( lambda <0 ) ، ونقطة واحدة ثابتة لـ ( lambda = 0 ) ، وثلاث نقاط ثابتة لـ ( lambda> 0 ). هذا هو السيناريو للتشعب مذراة.

بعد ذلك نقوم بفحص استقرار النقاط الثابتة. يعقوبي (هـ 18) يُعطى من قبل:

[ start {pmatrix} {0} & {1} { lambda-3q ^ 2} & {0} end {pmatrix}. التسمية {E.20} ]

القيم الذاتية لهذه المصفوفة هي:

( lambda_ {1،2} = pm sqrt { lambda-3q ^ 2} ).

ومن ثم فإن (q، p) = (0، 0) هو مركز لـ ( lambda <0 ) ، سرج لـ ( lambda> 0 ) وله قيمتان من قيم eigenvalues ​​لـ ( lambda = 0 ) . النقاط الثابتة ((q، p) = (p lambda، 0) ) هي مراكز لـ ( lambda> 0 ). هاء - 4.

نلاحظ أنه ، مع قليل من التفكير ، يجب أن يكون واضحًا أنه في بعدين لا يوجد تناظري لتفرع هوبف لحقول متجه هاملتونية مشابهة للحالة التي حللناها سابقًا في سياق غير هاميلتوني. هناك حالة يشار إليها باسم تشعب هاميلتوني هوبف ، لكن هذه الفكرة تتطلب أربعة أبعاد على الأقل ، انظر Van Der Meer.

في أنظمة هاملتونيان ، تكون معلمة التشعب الطبيعي هي قيمة مجموعة مستوى هاميلتوني ، أو "الطاقة". من وجهة النظر هذه ، ربما تم وصف مرشح طبيعي أكثر لتشعب هوبف في نظام هاميلتوني من خلال نظرية المركز الفرعي ليابونوف ، انظر كيلي. يتطلب إعداد هذه النظرية أيضًا أربعة أبعاد على الأقل ، لكن الظواهر المرتبطة بها تحدث كثيرًا في التطبيقات.


12. معادلة هاملتون - جاكوبي

& # x2202 S x، t & # x2202 t + 1 2 x 2 + 1 2 & # x2202 S x، t & # x2202 x 2 = 0.

(لاحظ أن هذا يشبه إلى حد ما معادلة شرودنغر لنفس النظام.)

إذا كان هاميلتونيان لا يعتمد بشكل واضح على الوقت & # x2202 S / & # x2202 t + H q ، يصبح p = 0 فقط & # x2202 S / & # x2202 t = & # x2212 E ، وبالتالي فإن الإجراء له شكل S = S 0 q & # x2212 E t ، ومعادلة هاملتون-جاكوبي هي

(هذا مشابه لـ الوقت المستقل معادلة شرودنغر للطاقة eigenstates.)

وبالتالي فإن معادلة هاملتون - جاكوبي هي معادلة ثالثة وصف كامل للديناميكيات ، يعادل معادلات لاغرانج ومعادلات هاملتون.

نظرًا لأن S تظهر فقط متمايزة ، إذا كان لدينا حل للمعادلة ، فيمكننا دائمًا إضافة مصطلح ثابت تعسفي ، لإعطاء حل صالح بنفس القدر. بالنسبة للحالة العامة ، سيكون هناك ثوابت تكامل أخرى ، لذا فإن الحل الكامل له الشكل

S q i ، t = f t ، q 1 ، & # x2026 ، q s & # x2004 & # x2004 & # x03B1 1 ، & # x2026 ، & # x03B1 s + A ،

يمثل كل من & # x03B1 و A ثوابت التكامل. نحن لا نقول إنه من السهل حل هذه التفاضلية بشكل عام ، فقط أننا نعرف عدد ثوابت التكامل في الحل النهائي. نظرًا لأن الإجراء يحدد حركة النظام تمامًا ، فسيتم تحديد ثوابت التكامل من خلال الإحداثيات الأولية والنهائية المحددة ، أو يمكن اعتبارها بنفس القدر وظائف للإحداثيات الأولية والعزم (يتم تحديد العزم الأولي نفسه بواسطة الإحداثيات الأولية والنهائية).


11.5: E- ديناميات معادلات هاملتون

في عام 1980 قدم أندرسن استخدام "النظام الممتد" كوسيلة لاستكشاف عن طريق محاكاة الديناميكيات الجزيئية فضاء الطور لنموذج مادي وفقًا لتوزيع مجموعة مرغوب يختلف عن الوظيفة المعيارية الدقيقة. بعد عمله الأصلي على المحتوى الحراري الثابت للضغط ، تم اقتراح عدد كبير من معادلات الحركة المختلفة ، التي لا يمكن اشتقاقها مباشرة من هاميلتوني ، في السنوات الأخيرة ، وأبرزها ما يسمى بصيغة Nosé-Hoover لـ "الكنسي". "محاكاة الديناميكيات الجزيئية. باستخدام تعميم الشكل العفوي لمعادلات هاملتون للحركة ، نوضح هنا أن هناك بنية عامة فريدة تكمن وراء معظم ، إن لم يكن كل معادلات الحركة لـ "الأنظمة الموسعة". نحن نؤسس شكليات موحدة تسمح للفرد بتحديد الكمية المحفوظة والتحكم فيها بشكل منفصل ، والتي تُعرف عادةً باسم "الطاقة الإجمالية" للنظام ، وانضغاط مساحة الطور. علاوة على ذلك ، نحدد إجراءً قياسيًا لإنشاء تدفقات محافظة غير هاميلتونية تأخذ عينة من فضاء الطور وفقًا لوظيفة التوزيع المختارة [تاكرمان وآخرون.، Europhys. بادئة رسالة. 45، 149 (1999)]. لتوضيح الشكلية ، نشتق معادلات جديدة للحركة لحالتين من الأمثلة. أولاً ، نقوم بتعديل معادلات الحركة الخاصة بمنظم الحرارة Nosé-Hoover المطبق على مذبذب توافقي أحادي البعد ، ونوضح كيفية التغلب على مشكلة الشدة والحصول على عينة أساسية من فضاء الطور دون اللجوء إلى درجات إضافية من الحرية. أخيرًا ، أعدنا صياغة فكرة طرحها مؤخرًا Marchi and Ballone [J. تشيم. فيز. 110، 3697 (1999)] واشتق مخططًا ديناميكيًا لمساحة مرحلة أخذ العينات مع التحيزات الإحصائية التعسفية ، والتي تظهر كتطبيق صريح انتقال مزج في خليط ثنائي بسيط من Lennard-Jones.

© 2001 الجمعية الفيزيائية الأمريكية

المؤلفون والانتماءات

  • 1 مجموعة نظرية الفيزياء الكيميائية ، قسم الكيمياء ، جامعة تورنتو ، تورنتو ، كندا ON M5S 3H6
  • 2 Istituto Nazionale per la Fisica della Materia (INFM) and Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia، Dipartimento di Fisica، Via Campi 213 A، 41100 Modena، Italy

المراجع (الاشتراك مطلوب)

القضية
خيارات الوصول

أثر COVID-19 على العديد من المؤسسات والمنظمات حول العالم ، مما أدى إلى تعطيل تقدم البحث. خلال هذا الوقت الصعب APS و مراجعة البدنية مكتب التحرير مجهز بالكامل ويعمل بنشاط لدعم الباحثين من خلال الاستمرار في تنفيذ جميع وظائف التحرير ومراجعة الأقران ونشر الأبحاث في المجلات بالإضافة إلى تقليل تعطيل الوصول إلى المجلات.

نحن نقدر جهودك المستمرة والتزامك بالمساعدة في تقدم العلوم ، والسماح لنا بنشر أفضل مجلات الفيزياء في العالم. ونأمل أن تظل أنت وأحبائك آمنين وبصحة جيدة.

يجد العديد من الباحثين أنفسهم الآن يعملون بعيدًا عن مؤسساتهم ، وبالتالي قد يواجهون صعوبة في الوصول إلى مجلات Physical Review. لمعالجة هذا الأمر ، قمنا بتحسين الوصول عبر عدة آليات مختلفة. انظر الدخول خارج الحرم الجامعي إلى مراجعة البدنية لمزيد من التعليمات.


نموذج

نبدأ مناقشتنا باستخدام نموذج الوباء المعرضة للعدوى والمعرضة للإصابة (SIS). يصف نموذج SIS انتشار مرض معدٍ واحد في مجموعة سكانية معرضة للإصابة بهذا المرض ن. يحدث انتقال العامل الممرض عندما تنقل العوائل المعدية مسببات المرض إلى أفراد يتمتعون بصحة جيدة. تمتد فترة العدوى طوال مسار المرض بالكامل حتى شفاء المريض ، مما يضمن نموذجًا من مرحلتين: إما مصاب أو سريع التأثر. يتلخص جوهر النموذج في الشكل 1.

المحاكاة العددية لنموذج SIS. (أقحم) المضيفون المصابون (I) يتعافون إلى الحالة الحساسة (S) مع المعدل γ (متبقى). قد يؤدي التفاعل المناسب بين مضيف مصاب ومضيف حساس إلى حدوث عدوى جديدة بمعدل α (حق). تعتبر التأثيرات العشوائية أكثر صلة بأحجام السكان الصغيرة (ن = 50, γ/α = 1/2) ، مما يقلل من دقة المعادلات الجزئية. المشتق الأمامي دρ/دτ من البيانات (عبر) يتفق مع Eq. (5 أ) (خط متصل) ، بينما المعادلة الجزئية مكافئ. (1) فشل في إعادة إنتاج البيانات (خط متقطع). المشتق الأمامي دσ 2 /دτ من البيانات (الدوائر) يتفق أيضًا مع الصيغة في المعادلة. (5 ب) (خط). يتم رسم جميع الخطوط باستخدام بيانات المحاكاة لـ 〈ρ(τ)〉, σ 2 (τ) و Δ3(τ).

تفترض الصياغة التقليدية للمشكلة أن فرضية الخلط العشوائي (انظر المقدمة) تنطبق على عدد كبير من السكان ن ( gg ) 1 ، مخترق من أفراد مكافئين إحصائيًا. في ظل هذه الظروف ، فإن المتغير الوحيد ذي الصلة هو الكثافة اللحظية للعناصر المصابة ρ(ر) ، مما يعني أنه يمكن إهمال التقلبات بأمان. علاوة على ذلك، ρ(ر) يتناقص مع المعدل γρ، أين γ هو معدل الاسترداد. الإصابات الجديدة لكل وحدة زمنية (حدوث المرض) تتناسب مع αρ(1 − ρ) ، أي أنها تعتمد على فرصة تفاعل العناصر المصابة مع العناصر المعرضة لها ، مع شدة تعطى من خلال معدل الانتقال α. توفر هذه الصورة تفسيرًا حيث ρ(ر) بشكل مستمر بين جزأين ، مما يؤدي إلى وصف بسيط يسمى المعادلة الجزئية: دρ(ر)/د = αρ(1 − ρ) − γρ. من أجل الراحة ، أعد تعريف الجدول الزمني كـ ταt و ρ0 ≡ 1 − γ/α، لهذا السبب

من الواضح أن كثافة التوازن يمكن أن تكون ρمكافئ = 0 أو ρمكافئ = ρ0. أيضا، ρ0 يرتبط برقم الاستنساخ الأساسي ص0 = ن(α/γ) الذي يقدم تقديرًا لعدد الإصابات الجديدة لكل جيل 27.

في ضوء عمرها الطويل ، حققت المعادلات الجزئية نجاحًا كبيرًا في التنبؤ بالتطور الزمني لتفشي الأمراض ، مما يوفر رؤى قيمة لاستراتيجيات التدخل وتخصيص التمويل 28. ومع ذلك ، فإن حالات التفشي التي تفشل في تلبية الفرضيات الأساسية (الخلط العشوائي وعدد كبير من العناصر المكافئة إحصائيًا) يمكن أن تتعارض مع المعادلات الجزئية. تُعزى هذه التناقضات إلى حد كبير إلى التأثيرات العشوائية والتقلبات الكامنة فيها 2.


معادلة هاملتون - جاكوبي

في الفيزياء معادلة هاملتون - جاكوبيسميت على اسم ويليام روان هاميلتون وكارل جوستاف جاكوب جاكوبي ، وهي صيغة بديلة للميكانيكا الكلاسيكية ، تعادل الصيغ الأخرى مثل قوانين نيوتن للحركة وميكانيكا لاغرانج وميكانيكا هاملتون. تعتبر معادلة هاملتون-جاكوبي مفيدة بشكل خاص في تحديد الكميات المحفوظة للأنظمة الميكانيكية ، والتي قد تكون ممكنة حتى عندما لا يمكن حل المشكلة الميكانيكية نفسها تمامًا.

معادلة هاملتون-جاكوبي هي أيضًا الصيغة الوحيدة للميكانيكا التي يمكن من خلالها تمثيل حركة الجسيم كموجة. بهذا المعنى ، فقد حقق هدفًا طويل الأمد للفيزياء النظرية (يرجع تاريخه على الأقل إلى يوهان برنولي في القرن الثامن عشر) المتمثل في إيجاد تشابه بين انتشار الضوء وحركة الجسيم. تشبه معادلة الموجة التي تتبعها الأنظمة الميكانيكية معادلة شرودنجر ، ولكنها غير متطابقة معها ، كما هو موضح أدناه لهذا السبب ، تعتبر معادلة هاملتون-جاكوبي "أقرب نهج" للميكانيكا الكلاسيكية لميكانيكا الكم. [1] [2]

في الرياضيات ، تعتبر معادلة هاملتون-جاكوبي شرطًا ضروريًا لوصف الهندسة المتطرفة في التعميمات للمسائل من حساب التباينات. يمكن فهمها على أنها حالة خاصة لمعادلة هاملتون - جاكوبي - بيلمان من البرمجة الديناميكية. [3]


أهلا بك!

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


السير وليام روان هاميلتون (1805-1865): أوراق رياضية

تتكون هذه المجموعة من الأوراق الرياضية للسير ويليام روان هاملتون والتي نُشرت خلال حياته ، ونسخها وحررها ديفيد ر. ويلكينز. مع استثناء واحد ، تتوفر هذه الأوراق هنا في طبعة تستند إلى النص الأصلي المنشور. (الاستثناء هو مقالة Remarques de M. Hamilton، Directeur de l'Observatoire de Dublin، sur un M & eacutemoire de M. Plana ins & eacuter & eacute dans le Tome VII de la Correspondance Math.)

كما أعيد نشر أوراق هاميلتون الرياضية في المجلدات الأربعة من الأوراق الرياضية للسير ويليام روان هاملتون ، وتم تحريرها للأكاديمية الملكية الأيرلندية من قبل JL Synge ، و AW Conway ، و AJ McConnell ، و H. Halberstam ، و RE Ingram ، و BKP Scaife ، و نشرته مطبعة جامعة كامبريدج. (تم نشر المجلد 4 بواسطة مطبعة جامعة كامبريدج في ديسمبر 2000). تتضمن هذه المجلدات أيضًا كمية كبيرة من الأوراق والمخطوطات غير المنشورة من قبل لهاملتون.

فيما يلي أوراق السير ويليام روان هاميلتون المتاحة هنا:


برنامج

ولدت ميكانيكا هاملتون من علم البصريات. طور السير وليام روان هاميلتون نظرية لدراسة انتشار الطور في الأنظمة البصرية مسترشدًا بمبدأ فيرمات للأشعة الضوئية (أي أنظمة التردد العالي). بعد ذلك بوقت قصير ، أدرك أنه ، بناءً على تشابه مبدأ فيرما مع مبدأ الفعل ، يمكن للمرء تكييف الآلية مع الميكانيكا. تعد الأساليب الهاميلتونية الآن موضوعًا رئيسيًا في الديناميكيات والميكانيكا.

تظهر العديد من وحدات PDE & # 39 المثيرة للاهتمام كحد للأنظمة الميكانيكية للعديد من الجسيمات الصغيرة (مثل موجات الماء ، وميكانيكا السوائل ، ومعادلات فيزياء البلازما) ، وبالتالي فإن إعداد هاميلتوني ضروري لدراسة هذه الأنواع من PDE & rsquos. من المثير للاهتمام أن نلاحظ أن ماكسويل أمضى بعض الوقت في تطوير النماذج الميكانيكية لمعادلاته الخاصة بالمجال الكهرومغناطيسي.

يقدر العلماء العمليون الإلغاءات السحرية في بيئة هاملتون التي تؤدي إلى حسابات فعالة.

إن الطبيعة متعددة التخصصات لأنظمة هاملتون متأصلة بعمق في تاريخها. من اللافت للنظر أن الاكتشاف في 1980 & rsquos لنظرية Aubry-Mather الشهيرة (أحد أهم التطورات في عقود) تم إنجازه في وقت واحد من قبل الفيزيائي سيرج أوبري وعالم الرياضيات جون ماثر.

يمكن للعديد من الأشخاص الذين يعملون في هذا المجال التحدث إلى علماء الرياضيات والفيزياء على حد سواء.

تم تصميم هذا البرنامج لدمج وجهة النظر الرياضية البحتة مع التطبيقات في الفيزياء وميكانيكا الفضاء والكيمياء النظرية. سيتم دمج المجتمعين بالكامل من أجل التآزر. تم تصميم ورش العمل مع إعطاء الأولوية لإثارة التفاعلات. نتصور أنه خلال الفصل الدراسي بأكمله سيقدم الزوار دروسًا موجهة أيضًا إلى الأشخاص من خلفيات علمية مختلفة. سيعتمد اختيار غالبية الزوار على التفاعلات المحتملة.

تشمل الموضوعات الرياضية:

1) انتشار أرنولد (باستخدام كل من الطرق الهندسية والمتغيرة ، بما في ذلك أمثلة على الانتشار في الميكانيكا السماوية).

2) الميكانيكا السماوية (مع التركيز بشكل خاص على تقليل المدارات والمسارات المدهشة الأخرى).

3) الروابط بين الحلول الضعيفة (اللزوجة) لمعادلة هاملتون-جاكوبي ونظرية أوبري-ماثر لأنظمة لاغرانج (نظرية ضعف KAM).

4) PDE & rsquos التي يمكن اعتبارها أنظمة هاميلتونية غير محدودة الأبعاد ، والتي يمكن تطبيق طرق KAM عليها.


مراجع

أبراهام ، آر وجي إي مارسدن (1978). أسس الميكانيكا. القراءة ، بنيامين.

أرنولد ، في آي (1963). "دليل على نظرية A.N. كولموغوروف حول ثبات الحركات شبه الدورية تحت الاضطرابات الصغيرة لهاملتونيان ". روس. رياضيات. استطلاعات 18: 5: 9-36.

أرنولد ، في آي (1978). الطرق الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية. نيويورك ، سبرينغر.

ماكاي ، آر إس ، وجي دي ميس ، محرران. (1987). أنظمة هاميلتونيان الديناميكية: إعادة طبع التحديد. لندن ، مطبعة آدم هيلجار.

ماكدوف ، د. ود. سالامون (1995). مقدمة في طوبولوجيا Symplectic. أكسفورد ، مطبعة كلارندون.

ماير ، ك.ر.و جي آر هول (1992). مقدمة في نظرية الأنظمة الهاميلتونية. نيويورك ، Springer-Verlag.

موسر ، جى ك. (1962). "على المنحنيات الثابتة لتعيينات المنطقة مع الحفاظ على الحلقة." نشر. العقاد. ويس. غوتنغن ، 2 الرياضيات. فيز. 1: 1-20.

سيجل ، سي إل وجي ك موسر (1971). محاضرات في الميكانيكا السماوية. نيويورك ، Springer-Verlag.


J.P. Ryckaert ، و G.Ciccotti ، و H.JC Berendsen ، التكامل العددي للمعادلات الديكارتية لحركة نظام مع القيود: الديناميات الجزيئية لـن- ألكانات ،J. كومب. فيز. 23:327 (1977).

J. Orban and J.P. Ryckaert ، غير منشور (1974) [مذكور في المرجع. 1].

G.Ciccotti و J.P. Ryckaert ، محاكاة الديناميكيات الجزيئية للجزيئات الصلبة ،شركات فيز. اعادة عد. 4:345 (1986).

R. Edberg ، و D.J. Evans ، و G.P. Morriss ، الديناميات الجزيئية المقيدة: محاكاة الألكانات السائلة باستخدام خوارزمية جديدة ،J. كيم. فيز. 84:6933 (1986).

إم بي ألين ودي جي تيلديسلي ،المحاكاة الحاسوبية للسوائل (مطبعة جامعة أكسفورد ، 1987).

J.W. Perram و H.G Petersen ، معادلات الجسم الجامدة الجديدة للحركة للديناميات الجزيئية ،مول. محاكاة. 1:239 (1988).

جي دبليو بيرام و إتش جي بيترسن ، خوارزميات لحساب المسارات الديناميكية للأجسام المرنة ،مول. فيز. 65:861 (1988).

لانكوز ،المبادئ المتغيرة للميكانيكا (مطبعة جامعة تورنتو ، 1949).

R. Weinstock ،حساب الاختلافات (ماكجرو هيل ، 1952).

جاليفوتي ،عناصر الميكانيكا (Springer-Verlag ، 1983).

فيكسمان ، الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية للقيود: نظرية وتطبيق على البوليمرات ،بروك. ناتل. أكاد. علوم. الولايات المتحدة الأمريكية 71:3050 (1974).

سي جيه طومسون ،ميكانيكا إحصائية رياضية (ماكميلان ، 1972).

إي تي ويتاكر ،رسالة في الديناميكيات التحليلية للجسيمات والأجسام الصلبة (مطبعة جامعة كامبريدج ، 1917).

غولدشتاين ،الميكانيكا الكلاسيكية (أديسون ويسلي ، 1950).

إي سي دي سودارشان ون. موكوندا ،الديناميكيات الكلاسيكية: منظور حديث (وايلي ، 1974).

P.A M. Dirac ، ديناميات هاميلتونية المعممة ،علبة. J. الرياضيات. 2:129 (1950).

P.A M. Dirac ، ديناميات هاميلتونية المعممة ،بروك. R. Soc. أ 246:326 (1958).

جي إل أندرسون وبي جي بيرجمان ، القيود في نظريات المجال المتغير ،فيز. القس. 83:1018 (1951).


شاهد الفيديو: معادلات هاملتون الجزء الثاني- Analytical mechanics, Hamiltons equations part 2 (ديسمبر 2021).